(Unicamp-18) Considere a sequência de números reais ( a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5} ) tal que ( a_{1}, a_{2}, a_{3} ) é uma progressão geométrica e ( a_{3}, a_{4}, a_{5} ) é uma progressão aritmćtica, ambas com a mesma razāo w.
a) Determine a sequência no caso em que a_{3}=3 e w =2.
b) Determine todas as sequências tais que a_{1}=1 e a_{5}=8.

Passo 1

O enunciado trata de uma sequência (a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}) de números reais em que (a_{1},a_{2},a_{3}) é uma progressão geométrica de razão w e (a_{3},a_{4},a_{5}) é uma progressão aritmética de diferença w. Vamos usar a definição de PG e de PA para obter fórmulas gerais dos termos.

Passo 2

Da progressão geométrica com razão w temos
a_{2}=a_{1}\,w, \quad a_{3}=a_{1}\,w^{2}.
Da progressão aritmética com diferença w partindo de a_{3} segue
a_{4}=a_{3}+w, \quad a_{5}=a_{3}+2w.

Passo 3

Para o item (a) temos a_{3}=3 e w=2. Da fórmula a_{3}=a_{1}w^{2} vem
a_{1}=\frac{a_{3}}{w^{2}}=\frac{3}{2^{2}}=\frac{3}{4}.
Em seguida
a_{2}=a_{1}\,w=\frac{3}{4}\cdot2=\frac{3}{2},\quad a_{4}=a_{3}+w=3+2=5,\quad a_{5}=a_{3}+2w=3+4=7.

Passo 4

Para o item (b) fixamos a_{1}=1 e a_{5}=8. Usando a_{3}=a_{1}w^{2}=w^{2} e a_{5}=a_{3}+2w obtemos a equação
a_{5}=w^{2}+2w=8 \quad\Longrightarrow\quad w^{2}+2w-8=0.
Resolvendo
w=\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}+32}}{2}=\frac{-2\pm6}{2},
logo w=2 ou w=-4. Para cada um:
\text{se }w=2:\;(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5})=(1,2,4,6,8),
\text{se }w=-4:\;(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5})=(1,-4,16,12,8).

Resposta

(a) \displaystyle\bigl(\tfrac{3}{4},\tfrac{3}{2},3,5,7\bigr).
(b) As duas sequências são (1,2,4,6,8) e (1,-4,16,12,8).

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