2.5.20 Um certo campo de força é dado por
\mathbf{F}=\hat{\mathbf{r}} \frac{2 P \cos \theta}{r^{3}}+\hat{\boldsymbol{\theta}} \frac{P}{r^{3}} \operatorname{sen} \theta, \quad r \geq P / 2
(em coordenadas polares esféricas).
(a) Examine \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F} para ver se existe um potencial.
(b) Calcule \oint \mathbf{F} \cdot d \boldsymbol{\lambda} para um círculo unitário no plano \theta=\pi / 2. O que isso indica em relação à força ser conservativa ou não-conservativa?
(c) Se você acredita que \mathbf{F} pode ser descrita por \mathbf{F}=-\nabla \psi, ache \psi. Caso contrário, afirme, simplesmente, que não existe nenhum potencial aceitável.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de força em coordenadas esféricas
\mathbf{F}=\hat{\mathbf{r}}\frac{2P\cos\theta}{r^{3}}+\hat{\boldsymbol{\theta}}\frac{P\sin\theta}{r^{3}},\quad r\ge P/2,
e pede:
(a) calcular \nabla\times\mathbf F para checar se há potencial;
(b) avaliar \displaystyle\oint_{C}\mathbf F\cdot d\boldsymbol\lambda num círculo unitário em \theta=\pi/2 e interpretar;
(c) se for conservativo, achar \psi tal que \mathbf F=-\nabla\psi.
O conteúdo é cálculo vetorial: rotor em coordenadas esféricas, integral de linha e potencial.

Passo 2

Usamos a fórmula do rotor em coordenadas (r,\theta,\varphi), sabendo que F_{\varphi}=0 e \partial/\partial\varphi=0. Os componentes são
(\nabla\times\mathbf F)_r =\frac{1}{r\sin\theta}\Bigl[\frac{\partial}{\partial\theta}(F_\varphi\sin\theta)-\frac{\partial F_\theta}{\partial\varphi}\Bigr]=0,
(\nabla\times\mathbf F)_\theta =\frac{1}{r}\Bigl[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial F_r}{\partial\varphi}-\frac{\partial}{\partial r}(rF_\varphi)\Bigr]=0,
(\nabla\times\mathbf F)_\varphi =\frac{1}{r}\Bigl[\frac{\partial}{\partial r}(rF_\theta)-\frac{\partial F_r}{\partial\theta}\Bigr] =\frac{1}{r}\Bigl[-2\frac{P\sin\theta}{r^3}-\bigl(-2\frac{P\sin\theta}{r^3}\bigr)\Bigr]=0.
Logo \nabla\times\mathbf F=\mathbf0 em r>P/2.

Passo 3

Parametrizamos o círculo unitário em \theta=\pi/2 por \varphi\mapsto(r=1,\theta=\pi/2,\varphi). O elemento de arco é
d\boldsymbol\lambda = r\sin\theta\,d\varphi\;\hat{\boldsymbol\varphi} =1\cdot1\;d\varphi\,\hat{\boldsymbol\varphi}=d\varphi\,\hat{\boldsymbol\varphi}.
Como F_\varphi=0, temos
\mathbf F\cdot d\boldsymbol\lambda =F_\varphi\,d\varphi=0,
e portanto
\oint_C\mathbf F\cdot d\boldsymbol\lambda=0.
Isso confirma que, nesta curva, a integral fechada é nula, consistente com conservatividade local.

Passo 4

Para achar \psi tal que \mathbf F=-\nabla\psi, usamos em esféricas
F_r=-\frac{\partial\psi}{\partial r},\quad F_\theta=-\frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial\theta},\quad F_\varphi=0\Rightarrow\psi\text{ indep.\\ de }\varphi.
De F_r=\tfrac{2P\cos\theta}{r^3}=-\partial\psi/\partial r segue
\frac{\partial\psi}{\partial r} =-\frac{2P\cos\theta}{r^3} \quad\Longrightarrow\quad \psi(r,\theta) =\int -\frac{2P\cos\theta}{r^3}dr =P\cos\theta\,r^{-2}+g(\theta).
De F_\theta=\tfrac{P\sin\theta}{r^3}=-(1/r)\,\partial\psi/\partial\theta vem
\frac{\partial\psi}{\partial\theta} =-r\,F_\theta =-\frac{P\sin\theta}{r^2},
e também
\frac{\partial\psi}{\partial\theta} =-P\sin\theta\,r^{-2}+g'(\theta) \;\xRightarrow{\,=}\; g'(\theta)=0\;\Rightarrow\;g(\theta)=\text{const}.
Assim,
\psi(r,\theta)=\frac{P\cos\theta}{r^2}+\text{const}.

Resposta

(a) \displaystyle\nabla\times\mathbf F=\mathbf0.
(b) \displaystyle\oint_C\mathbf F\cdot d\boldsymbol\lambda=0, indicando comportamento conservativo no domínio.
(c) Um potencial é
\psi(r,\theta)=\frac{P\cos\theta}{r^2}+\text{const},
pois \mathbf F=-\nabla\psi.

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