2.5.20 Um certo campo de força é dado por
(em coordenadas polares esféricas).
(a) Examine
para ver se existe um potencial.
(b) Calcule
para um círculo unitário no plano
. O que isso indica em relação à força ser conservativa ou não-conservativa?
(c) Se você acredita que
pode ser descrita por
, ache
. Caso contrário, afirme, simplesmente, que não existe nenhum potencial aceitável.
(a) Examine
(b) Calcule
(c) Se você acredita que
Passo 1
O enunciado nos dá o campo de força em coordenadas esféricas
e pede:
(a) calcular para checar se há potencial;
(b) avaliar num círculo unitário em
e interpretar;
(c) se for conservativo, achar tal que
.
O conteúdo é cálculo vetorial: rotor em coordenadas esféricas, integral de linha e potencial.
(a) calcular
(b) avaliar
(c) se for conservativo, achar
O conteúdo é cálculo vetorial: rotor em coordenadas esféricas, integral de linha e potencial.
Passo 2
Usamos a fórmula do rotor em coordenadas
, sabendo que
e
. Os componentes são
Logo
em
.
Passo 3
Parametrizamos o círculo unitário em
por
. O elemento de arco é
Como
, temos
e portanto
Isso confirma que, nesta curva, a integral fechada é nula, consistente com conservatividade local.
Passo 4
Para achar
tal que
, usamos em esféricas
De
segue
De
vem
e também
Assim,
Resposta
(a)
.
(b) , indicando comportamento conservativo no domínio.
(c) Um potencial é
(b)
(c) Um potencial é
pois
.