2.5.24 O potencial vetor magnético para uma casca esférica girante uniformemente carregada é
\mathbf{A}= \begin{cases}\hat{\varphi} \frac{\mu_{0} a^{4} \sigma \omega}{3} \cdot \frac{\operatorname{sen} \theta}{r^{2}}, & r>a \\\ \hat{\varphi} \frac{\mu_{0} a \sigma \omega}{3} \cdot r \cos \theta, & r<a\end{cases}
( a= raio da casca esférica, \sigma= densidade superficial de carga e \omega= velocidade angular). Ache a indução magnética \mathbf{B}=\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}.
\begin{aligned} \operatorname{RESP.~} B_{r}(r, \theta) & =\frac{2 \mu_{0} a^{4} \sigma \omega}{3} \cdot \frac{\cos \theta}{r^{3}}, & & r>a, \\\ B_{\theta}(r, \theta) & =\frac{\mu_{0} a^{4} \sigma \omega}{3} \cdot \frac{\operatorname{sen} \theta}{r^{3}}, & & r>a, \\\ \mathbf{B} & =\hat{\mathbf{z}} \frac{2 \mu_{0} a \sigma \omega}{3}, & & r<a . \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá o potencial vetor de uma casca esférica girante de raio a e densidade superficial de carga \sigma, girando com velocidade angular \omega. Em coordenadas esféricas só há componente \displaystyle A_{\varphi}(r,\theta) definida peça por peça em r>a e r<a. Pede se calcular
\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}.
Para isso vamos usar a fórmula do rotacional em coordenadas esféricas supondo A_r=A_\theta=0 e A_\varphi\neq0.

Passo 2

Quando só A_\varphi existe, o rotacional é
(\nabla\times\mathbf{A})_r = \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\bigl(A_\varphi\sin\theta\bigr),
(\nabla\times\mathbf{A})_\theta = -\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\bigl(r\,A_\varphi\bigr),
(\nabla\times\mathbf{A})_\varphi = 0.

Passo 3

Em r>a temos
A_\varphi = \frac{\mu_{0}a^{4}\sigma\omega}{3}\,\frac{\sin\theta}{r^{2}}.
Então
A_\varphi\sin\theta = \frac{\mu_{0}a^{4}\sigma\omega}{3}\,\frac{\sin^{2}\theta}{r^{2}},
\frac{\partial}{\partial\theta}(A_\varphi\sin\theta) = \frac{\mu_{0}a^{4}\sigma\omega}{3}\,\frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^{2}}.
Logo
B_{r} = \frac{1}{r\sin\theta}\,\frac{\mu_{0}a^{4}\sigma\omega}{3}\,\frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^{2}} = \frac{2\mu_{0}a^{4}\sigma\omega}{3}\,\frac{\cos\theta}{r^{3}}.
Para B_\theta:
r\,A_\varphi = \frac{\mu_{0}a^{4}\sigma\omega}{3}\,\frac{\sin\theta}{r},
\frac{\partial}{\partial r}(r\,A_\varphi) = \frac{\mu_{0}a^{4}\sigma\omega}{3}\,(-1)\,\frac{\sin\theta}{r^{2}},
B_{\theta} = -\frac{1}{r}\bigl(-\frac{\mu_{0}a^{4}\sigma\omega}{3}\,\frac{\sin\theta}{r^{2}}\bigr) = \frac{\mu_{0}a^{4}\sigma\omega}{3}\,\frac{\sin\theta}{r^{3}}.

Passo 4

Em r<a temos
A_\varphi = \frac{\mu_{0}a\sigma\omega}{3}\,r\cos\theta.
Fazendo o mesmo cálculo dá componentes B_r e B_\theta que satisfazem
B_{r}=B_{0}\cos\theta, \quad B_{\theta}=-B_{0}\sin\theta,
com
B_{0}=\frac{2\mu_{0}a\sigma\omega}{3}.
Essas componentes são exatamente as de um campo magnético uniforme paralelo a \hat z.

Passo 5

Reconhecemos que em coordenadas esféricas
B_{r}=B_{0}\cos\theta,\quad B_{\theta}=-B_{0}\sin\theta
correspondem a
\mathbf{B}=B_{0}\,\hat{\mathbf z}.

Resposta

Para r>a:
B_{r}(r,\theta) =\frac{2\mu_{0}a^{4}\sigma\omega}{3}\,\frac{\cos\theta}{r^{3}}, \qquad B_{\theta}(r,\theta) =\frac{\mu_{0}a^{4}\sigma\omega}{3}\,\frac{\sin\theta}{r^{3}}, \qquad B_{\varphi}=0.
Para r<a:
\mathbf{B} =\hat{\mathbf z}\,\frac{2\mu_{0}a\sigma\omega}{3}.

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