2.5.1 Expresse os vetores unitários polares esféricos em vetores unitários cartesianos.
Resposta: r & =x sen theta cos varphi+y sen theta sen varphi+z cos theta theta & =x cos theta cos varphi+y cos theta sen varphi-z sen theta varphi & =-x sen varphi+y cos varphi

Passo 1

O enunciado pede para expressar os vetores unitários do sistema de coordenadas esféricas r,boldsymboltheta,boldsymbolvarphi em função dos vetores unitários cartesianos x, y, z. Para isso precisamos usar a relação entre as coordenadas esféricas (r,theta,varphi) e cartesianas (x,y,z).

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos
x = rsinthetacosvarphi, y = rsinthetasinvarphi, z = rcostheta
Assim o vetor posição pode ser escrito como
r = x, x+y, y+z, z = rsinthetacosvarphi, x + rsinthetasinvarphi, y + rcostheta, z

Passo 3

O vetor r é a derivada de r em relação a r normalizada. Como
partial rpartial r = sinthetacosvarphi, x + sinthetasinvarphi, y + costheta, z
já tem norma unitária, concluímos
r = xsinthetacosvarphi + ysinthetasinvarphi + zcostheta

Passo 4

O vetor boldsymboltheta é a derivada de r em relação a theta (com r,varphi fixos) normalizada por r. Calculamos
partial rpartialtheta = rcosthetacosvarphi, x + rcosthetasinvarphi, y - rsintheta, z,
e dividindo por r obtemos
boldsymboltheta = xcosthetacosvarphi + ycosthetasinvarphi - zsintheta

Passo 5

O vetor boldsymbolvarphi é a derivada de r em relação a varphi (com r,theta fixos) normalizada por rsintheta. Calculamos
partial rpartialvarphi = -rsinthetasinvarphi, x + rsinthetacosvarphi, y,
e dividindo por rsintheta obtemos
boldsymbolvarphi = - xsinvarphi + ycosvarphi

Resposta

r = xsinthetacosvarphi + ysinthetasinvarphi + zcostheta
boldsymboltheta = xcosthetacosvarphi + ycosthetasinvarphi - zsintheta
boldsymbolvarphi = - xsinvarphi + ycosvarphi

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