2.5.1 Expresse os vetores unitários polares esféricos em vetores unitários cartesianos.
\begin{aligned} \text { Resposta: } \hat{\mathbf{r}} & =\hat{\mathbf{x}} \operatorname{sen} \theta \cos \varphi+\hat{\mathbf{y}} \operatorname{sen} \theta \operatorname{sen} \varphi+\hat{\mathbf{z}} \cos \theta \\\ \hat{\boldsymbol{\theta}} & =\hat{\mathbf{x}} \cos \theta \cos \varphi+\hat{\mathbf{y}} \cos \theta \operatorname{sen} \varphi-\hat{\mathbf{z}} \operatorname{sen} \theta \\\ \hat{\boldsymbol{\varphi}} & =-\hat{\mathbf{x}} \operatorname{sen} \varphi+\hat{\mathbf{y}} \cos \varphi \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para expressar os vetores unitários do sistema de coordenadas esféricas \hat{\mathbf r},\hat{\boldsymbol\theta},\hat{\boldsymbol\varphi} em função dos vetores unitários cartesianos \hat{\mathbf x},\hat{\mathbf y},\hat{\mathbf z}. Para isso precisamos usar a relação entre as coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) e cartesianas (x,y,z).

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos
x = r\sin\theta\cos\varphi,\quad y = r\sin\theta\sin\varphi,\quad z = r\cos\theta.
Assim o vetor posição pode ser escrito como
\mathbf r = x\,\hat{\mathbf x}+y\,\hat{\mathbf y}+z\,\hat{\mathbf z} = r\sin\theta\cos\varphi\,\hat{\mathbf x} + r\sin\theta\sin\varphi\,\hat{\mathbf y} + r\cos\theta\,\hat{\mathbf z}.

Passo 3

O vetor \hat{\mathbf r} é a derivada de \mathbf r em relação a r normalizada. Como
\frac{\partial\mathbf r}{\partial r} = \sin\theta\cos\varphi\,\hat{\mathbf x} + \sin\theta\sin\varphi\,\hat{\mathbf y} + \cos\theta\,\hat{\mathbf z}
já tem norma unitária, concluímos
\hat{\mathbf r} = \hat{\mathbf x}\sin\theta\cos\varphi + \hat{\mathbf y}\sin\theta\sin\varphi + \hat{\mathbf z}\cos\theta.

Passo 4

O vetor \hat{\boldsymbol\theta} é a derivada de \mathbf r em relação a \theta (com r,\varphi fixos) normalizada por r. Calculamos
\frac{\partial\mathbf r}{\partial\theta} = r\cos\theta\cos\varphi\,\hat{\mathbf x} + r\cos\theta\sin\varphi\,\hat{\mathbf y} - r\sin\theta\,\hat{\mathbf z},
e dividindo por r obtemos
\hat{\boldsymbol\theta} = \hat{\mathbf x}\cos\theta\cos\varphi + \hat{\mathbf y}\cos\theta\sin\varphi - \hat{\mathbf z}\sin\theta.

Passo 5

O vetor \hat{\boldsymbol\varphi} é a derivada de \mathbf r em relação a \varphi (com r,\theta fixos) normalizada por r\sin\theta. Calculamos
\frac{\partial\mathbf r}{\partial\varphi} = -r\sin\theta\sin\varphi\,\hat{\mathbf x} + r\sin\theta\cos\varphi\,\hat{\mathbf y},
e dividindo por r\sin\theta obtemos
\hat{\boldsymbol\varphi} = -\hat{\mathbf x}\sin\varphi + \hat{\mathbf y}\cos\varphi.

Resposta

\hat{\mathbf r} = \hat{\mathbf x}\sin\theta\cos\varphi + \hat{\mathbf y}\sin\theta\sin\varphi + \hat{\mathbf z}\cos\theta
\hat{\boldsymbol\theta} = \hat{\mathbf x}\cos\theta\cos\varphi + \hat{\mathbf y}\cos\theta\sin\varphi - \hat{\mathbf z}\sin\theta
\hat{\boldsymbol\varphi} = -\hat{\mathbf x}\sin\varphi + \hat{\mathbf y}\cos\varphi

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