Um cilindro equilátero de raio da base r é seccionado por um plano paralelo ao seu eixo e a uma distância d desse eixo. Calcule a medida da distância d, se a área da seção do plano com o cilindro é igual à área da base do cilindro.

Passo 1

O enunciado fala de um cilindro equilátero de raio da base r. “Cilindro equilátero” significa que a altura é igual ao diâmetro da base. O plano de corte é paralelo ao eixo do cilindro e está a uma distância d desse eixo, gerando uma seção plana cuja área deve ser igual à área da base do cilindro, isto é, pi r^2.

Passo 2

Como o cilindro é equilátero, a sua altura H vale o diâmetro da base:
H = 2r

Passo 3

Quando cortamos o cilindro por um plano paralelo ao seu eixo a uma distância d do eixo, a seção é um retângulo de altura H e largura igual ao diâmetro do círculo de raio raizr^2 - d^2. Logo, a largura vale
2raizr^2 - d^2

Passo 4

A área desse retângulo é
Áreaseção = H times l(2raizr^2 - d^2r) = 2r cdot 2raizr^2 - d^2 = 4r,raizr^2 - d^2 Áçã
Devemos ter
4r,raizr^2 - d^2 = pi r^2

Passo 5

Divide ambos os lados por r e isola a raiz:
4raizr^2 - d^2 = pi r Longrightarrow raizr^2 - d^2 = pi r4
Elevando ao quadrado:
r^2 - d^2 = pi^2 r^216 Longrightarrow d^2 = r^2 - pi^2 r^216 = r^2l(1 - pi^216r)
Portanto
d = r,raiz1 - pi^216

Resposta

d = r,raiz1 - pi^216

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