Um cilindro de revolução tem raio
e altura 2R. No seu interior constroem-se dois cones, cada um tendo por vértice o centro de uma das bases do cilindro e por base a base oposta do cilindro. Calcule a porção do volume do cilindro exterior aos dois cones.
Passo 1
O enunciado descreve um cilindro de revolução de raio
e altura
. No interior dele são construídos dois cones: um com vértice no centro da base inferior e base na base superior, e outro com vértice na base superior e base na base inferior. Queremos o volume da região que está no cilindro mas fica fora dos dois cones. Para resolver vamos usar:
- Fórmula do volume de um cilindro;
- Fórmula do volume de um cone;
- Princípio da inclusão–exclusão para calcular o volume da união de dois sólidos (dois cones).
Passo 2
Calcular o volume do cilindro. A área da base é
e a altura é
, logo
Passo 3
Calcular o volume de cada cone. Cada um tem base de área
e altura
, então
Como são dois cones, a soma dos volumes é
Passo 4
Determinar o volume da interseção dos dois cones. No eixo
(de
a
) a região comum satisfaz
Isso descreve dois cones de altura
e raio da base
. O volume de cada um desses cones menores é
logo a interseção total vale
Passo 5
Aplicar inclusão–exclusão para o volume da união dos cones:
Passo 6
O volume que fica no cilindro e fora dos cones é
Em relação ao volume total do cilindro, a fração é
Resposta
O volume da porção do cilindro que está fora dos dois cones é
o que corresponde a
do volume total do cilindro.