Um cilindro de revolução tem raio R e altura 2R. No seu interior constroem-se dois cones, cada um tendo por vértice o centro de uma das bases do cilindro e por base a base oposta do cilindro. Calcule a porção do volume do cilindro exterior aos dois cones.

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro de revolução de raio R e altura 2R. No interior dele são construídos dois cones: um com vértice no centro da base inferior e base na base superior, e outro com vértice na base superior e base na base inferior. Queremos o volume da região que está no cilindro mas fica fora dos dois cones. Para resolver vamos usar:
  • Fórmula do volume de um cilindro;
  • Fórmula do volume de um cone;
  • Princípio da inclusão–exclusão para calcular o volume da união de dois sólidos (dois cones).

Passo 2

Calcular o volume do cilindro. A área da base é pi R^2 e a altura é 2R, logo
Vcilindro = pi R^2,(2R) = 2pi R^3

Passo 3

Calcular o volume de cada cone. Cada um tem base de área pi R^2 e altura 2R, então
Vcone = 13,pi R^2,(2R) = 23,pi R^3
Como são dois cones, a soma dos volumes é
V1+V2 = 2 times 23,pi R^3 = 43,pi R^3

Passo 4

Determinar o volume da interseção dos dois cones. No eixo z (de 0 a 2R) a região comum satisfaz
r <= min!l(tfracz2,,tfrac2R-z2r)
Isso descreve dois cones de altura R e raio da base R/2. O volume de cada um desses cones menores é
13,pil(tfracR2r)^2!R = 112,pi R^3,
logo a interseção total vale
Vint = 2 times 112,pi R^3 = 16,pi R^3

Passo 5

Aplicar inclusão–exclusão para o volume da união dos cones:
Vunião = l(V1+V2r) - Vint = 43,pi R^3 ;-;16,pi R^3 = 76,pi R^3 ã

Passo 6

O volume que fica no cilindro e fora dos cones é
Vfora = Vcilindro - Vunião = 2pi R^3 ;-;76,pi R^3 = 56,pi R^3 ã
Em relação ao volume total do cilindro, a fração é
VforaVcilindro = tfrac56pi R^32pi R^3 = 512

Resposta

O volume da porção do cilindro que está fora dos dois cones é
56,pi R^3,
o que corresponde a tfrac512 do volume total do cilindro.

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