Num paralelepípedo retângulo , assinalemos os pontos médios de todas as arestas e unamos dois a dois aqueles pontos médios que pertencem a arestas concorrentes num mesmo vértice. Suprimindo os oito tetraedros que ficam assim determinados nos triedros do paralelepípedo, obtém-se um poliedro. Determine o volume desse poliedro em função de .
Passo 1
O enunciado considera um paralelepípedo retângulo de arestas . Marcamos os pontos médios de todas as arestas e, em cada vértice, ligamos entre si os três pontos médios que pertencem às arestas concorrentes nesse vértice, formando um tetraedro. A tarefa é calcular o volume do sólido que resta ao suprimir os oito tetraedros (um em cada vértice). O conteúdo usado será geometria espacial e, em particular, o cálculo de volume de um tetraedro via produto misto.
Passo 2
Escolhendo o vértice de coordenadas como origem, os pontos médios dos três arestas que saem desse vértice têm coordenadas
O tetraedro em questão tem vértice comum em e arestas definidas por esses vetores.
Passo 3
O volume de um tetraedro determinado pelos vetores a partir de uma mesma origem é
Há exatamente 8 vértices no paralelepípedo, logo suprimimos 8 tetraedros iguais. O volume total retirado é
8cdotabc48=abc6
Passo 6
O volume do paralelepípedo original é abc. Subtraindo o que foi removido, o volume do poliedro que resta é
abc-abc6=5,abc6
Resposta
5,a,b,c6
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica - 7ª Edição - Capítulo 14.Exercícios - Ex. 940