Num paralelepípedo retângulo a, b, c, assinalemos os pontos médios de todas as arestas e unamos dois a dois aqueles pontos médios que pertencem a arestas concorrentes num mesmo vértice. Suprimindo os oito tetraedros que ficam assim determinados nos triedros do paralelepípedo, obtém-se um poliedro. Determine o volume desse poliedro em função de a, b, c.

Passo 1

O enunciado considera um paralelepípedo retângulo de arestas (a,b,c). Marcamos os pontos médios de todas as arestas e, em cada vértice, ligamos entre si os três pontos médios que pertencem às arestas concorrentes nesse vértice, formando um tetraedro. A tarefa é calcular o volume do sólido que resta ao suprimir os oito tetraedros (um em cada vértice). O conteúdo usado será geometria espacial e, em particular, o cálculo de volume de um tetraedro via produto misto.

Passo 2

Escolhendo o vértice de coordenadas (0,0,0) como origem, os pontos médios dos três arestas que saem desse vértice têm coordenadas
v1=l(tfraca2,0,0r), v2=l(0,tfracb2,0r), v3=l(0,0,tfracc2r)
O tetraedro em questão tem vértice comum em (0,0,0) e arestas definidas por esses vetores.

Passo 3

O volume de um tetraedro determinado pelos vetores ,v1,v2,v3 a partir de uma mesma origem é
Vtetra=16l|det[v1,v2,v3]r|
Aqui
det[v1,v2,v3] =dettfraca2&0&00&tfracb2&00&0&tfracc2 =a2,b2,c2 =abc8

Passo 4

Substituindo na fórmula do volume do tetraedro,
Vtetra =16,abc8 =abc48

Passo 5

Há exatamente 8 vértices no paralelepípedo, logo suprimimos 8 tetraedros iguais. O volume total retirado é
8cdotabc48=abc6

Passo 6

O volume do paralelepípedo original é abc. Subtraindo o que foi removido, o volume do poliedro que resta é
abc-abc6=5,abc6

Resposta

5,a,b,c6

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