Um cilindro tem 2 m de altura e 1 m de raio. Determine as dimensões de um cilindro semelhante, cuja superfície lateral seja 14 da superfície lateral do primeiro.

Passo 1

O enunciado nos dá um cilindro original de altura h=2 m e raio r=1 m, e pede um cilindro semelhante (mesmas proporções) cuja superfície lateral seja tfrac14 da superfície lateral do original. O conteúdo aqui é semelhança de sólidos e como a área lateral de um cilindro varia com o fator de escala.

Passo 2

A superfície lateral de um cilindro de raio r e altura h é dada por
Slat ;=; 2pi,r,h

Passo 3

Para cilindros semelhantes, todas as dimensões (raio e altura) escalam por um mesmo fator k. Ou seja, no cilindro menor teremos
r' = k,r e h' = k,h
Como Slat envolve produto de r por h, a nova área lateral escala como
S'lat = k^2,Slat

Passo 4

Queremos S'lat = tfrac14,Slat. Logo
k^2 = tfrac14 Longrightarrow k = tfrac12
(tomamos k>0).

Passo 5

Bast a aplicar k às dimensões originais:
r' = tfrac12 cdot 1 = tfrac12e h' = tfrac12 cdot 2 = 1

Resposta

O cilindro desejado tem raio r' = 0,5 m e altura h' = 1 m.

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