Um cilindro e um tronco de cone (circulares retos) têm uma base comum e mesma altura. O volume do tronco é a metade do volume do cilindro. Determine a razão entre o raio da base maior e o raio da base menor do tronco.

Passo 1

O enunciado informa que temos um cilindro de raio maior R e altura h, e um tronco de cone de mesma base (ou seja, mesmo raio maior R) e mesma altura h. O volume do tronco é a metade do volume do cilindro. O objetivo é achar a razão entre o raio maior e o raio menor do tronco, isto é, R/r.

Passo 2

Escrevemos as fórmulas de volume do cilindro e do tronco de cone:
Vcil = pi R^2 h
Vtronco = 13,pi h,(R^2 + R,r + r^2)

Passo 3

Impondo Vtronco = tfrac12,Vcil, obtemos
13,pi h,(R^2 + R,r + r^2) ;=;12,pi R^2 h
Cancelamos pi h em ambos os lados e multiplicamos por 6:
2,(R^2 + R,r + r^2) ;=;3,R^2

Passo 4

Reorganizando a equação:
2R^2 + 2R,r + 2r^2 = 3R^2
2R,r + 2r^2 = R^2
Dividindo tudo por r^2 e definindo x = tfracRr, chegamos a
2x + 2 = x^2

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática x^2 - 2x - 2 = 0, temos
x = 2 pm raiz4 + 82 = 1 pm raiz3
Como a razão deve ser positiva, escolhemos
x = 1 + raiz3

Resposta

A razão entre o raio da base maior e o raio da base menor do tronco é 1 + raiz3.

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