A medida do raio da base menor de um tronco de cone é 10 cm e a geratriz forma com a altura um ângulo de 45^circ. Determine a medida do raio da base maior, sabendo que o volume do tronco de cone é 399 pi cm^3.

Passo 1

O enunciado fala de um tronco de cone (frustum) cuja base menor tem raio r=10 cm, a geratriz faz com a altura um ângulo de 45^circ, e o volume é V=399pi cm ^3. Vamos usar:
– relação geométrica entre raio maior R, raio menor r e altura h obtida a partir do ângulo entre geratriz e altura;
– fórmula do volume de tronco de cone.

Passo 2

Chame de l a geratriz e de h a altura. O ângulo entre l e h é 45^circ, e geometricamente vale
tan 45^circ=R-rh=1
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R - r = h Longrightarrow h = R - 10

Passo 3

A fórmula do volume de um tronco de cone é
V = pi,h3l(R^2 + R,r + r^2r)
Substituindo V=399pi e r=10 e h=R-10, temos
399pi = pi,(R-10)3l(R^2 + 10R + 100r)

Passo 4

Cancelando pi e multiplicando por 3,
1197 = (R-10)l(R^2 + 10R + 100r)
Expandindo o produto,
(R-10)(R^2+10R+100)=R^3-1000,
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R^3 - 1000 = 1197 Longrightarrow R^3 = 2197

Passo 5

Temos R^3=2197. Reconhecendo 2197=13^3, obtém-se
R = 13 (cm)

Resposta

O raio da base maior é 13 cm.

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