Determine a área lateral de um tronco de pirâmide triangular regular, sendo 4 dm o lado da base menor e sabendo que uma aresta lateral forma um ângulo de 60^circ com um lado da base maior, dado o apótema do tronco igual a 1 dm .

Passo 1

O enunciado pede a área lateral de um tronco de pirâmide triangular regular cuja base menor tem lado 4 dm, o apótema (slant height) vale 1 dm, e cada aresta lateral forma !60^circ com o lado correspondente da base maior. Vamos usar que cada face lateral é um trapézio isósceles de altura 1 dm, com bases de comprimentos 4 e L (lado da base maior), e determinar L via a relação angular dada.

Passo 2

A área lateral é a soma das áreas dos três trapézios laterais idênticos. Cada trapézio tem área
Atrap = (base maior) + (base menor)2,times a<ura = L + 42times 1
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Alat = 3,Atrap = 3,L+42

Passo 3

Para achar L, considere um trapézio com vértices A e B na base maior (comprimento L) e A' e B' na base menor (comprimento 4), tais que AA' é uma aresta lateral. Pelo enunciado, ang<= BAA'=60^circ. Posicionando A=(0,0), B=(L,0) e A'=(x',1), a inclinação de AA' satisfaz
tan(60^circ)=1-0x'-0=1x'Longrightarrow x'=1raiz3

Passo 4

Como o trapézio é isósceles, o segmento A'B' (de comprimento 4) fica centrado, logo
x'=L-42=1raiz3 Longrightarrow L-4=2raiz3 Longrightarrow L = 4 + 2raiz3

Passo 5

Substituindo em Alat=3,(L+4)/2:
L+4 = l(4 + tfrac2raiz3r)+4 = 8 + tfrac2raiz3,
Alat = 32l(8 + tfrac2raiz3r) =12 + 3raiz3 =12 + raiz3

Resposta

A área lateral do tronco é ;12 + raiz3;dm^2.

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