O plano que contém uma das bases de um cilindro equilátero contém uma das bases de um tronco de cone. Sabendo que as outras duas bases, do cilindro e do tronco, são comuns, calcule a relação entre os volumes do cilindro e do tronco de cone, sabendo que as bases comuns têm raios 10 cm , sendo 30 cm a medida da geratriz do tronco de cone.
Passo 1
O enunciado envolve um cilindro equilátero e um tronco de cone que compartilham duas bases de raio igual. Num cilindro equilátero, a altura
é o diâmetro da base, ou seja,
. No nosso caso as bases comuns (entre cilindro e tronco) têm raio
,cm, logo
,cm e
Além disso, essas duas bases comuns estão em planos distintos, cuja distância é justamente a altura do tronco de cone
. Logo
Sabemos também que a geratriz do tronco de cone é
,cm.
Passo 2
Seja
o raio da base do tronco que não é comum e seja
,cm o raio da base comum. A geratriz relaciona altura e diferença dos raios:
Substituindo
,cm,
,cm e
,cm, temos
Passo 3
Da equação anterior segue
como
, obtemos
Passo 4
Agora calculamos os volumes.
Para o cilindro:
Para o cilindro:
Para o tronco de cone, a fórmula é
Substituindo
,
e
:
Somando dentro do parêntese:
Logo
Passo 5
Finalmente, a relação entre os volumes do cilindro e do tronco de cone é