O plano que contém uma das bases de um cilindro equilátero contém uma das bases de um tronco de cone. Sabendo que as outras duas bases, do cilindro e do tronco, são comuns, calcule a relação entre os volumes do cilindro e do tronco de cone, sabendo que as bases comuns têm raios 10 cm , sendo 30 cm a medida da geratriz do tronco de cone.

Passo 1

O enunciado envolve um cilindro equilátero e um tronco de cone que compartilham duas bases de raio igual. Num cilindro equilátero, a altura hc é o diâmetro da base, ou seja, hc = 2rc. No nosso caso as bases comuns (entre cilindro e tronco) têm raio 10,cm, logo rc = 10,cm e
hc = 2 times 10 = 20 cm
Além disso, essas duas bases comuns estão em planos distintos, cuja distância é justamente a altura do tronco de cone hf. Logo
hf = hc = 20 cm
Sabemos também que a geratriz do tronco de cone é g=30,cm.

Passo 2

Seja R1 o raio da base do tronco que não é comum e seja R2=10,cm o raio da base comum. A geratriz relaciona altura e diferença dos raios:
g^2 = hf^2 + (R1 - R2)^2
Substituindo g=30,cm, hf=20,cm e R2=10,cm, temos
30^2 = 20^2 + (R1 - 10)^2 Longrightarrow 900 = 400 + (R1 - 10)^2 Longrightarrow (R1 - 10)^2 = 500

Passo 3

Da equação anterior segue
R1 - 10 = raiz500 = 10raiz5,
como R1>10, obtemos
R1 = 10 + 10raiz5

Passo 4

Agora calculamos os volumes.
Para o cilindro:
Vc = pi rc^2,hc = pi times 10^2 times 20 = 2000pi
Para o tronco de cone, a fórmula é
Vf = hf3,pil(R1^2 + R1 R2 + R2^2r)
Substituindo hf=20, R1=10(1+raiz5) e R2=10:
R1^2 = 100(1+raiz5)^2 = 600 + 200raiz5, R1R2 = 100 + 100raiz5, R2^2 = 100
Somando dentro do parêntese:
R1^2 + R1R2 + R2^2 = (600+200raiz5)+(100+100raiz5)+100 = 800 + 300raiz5
Logo
Vf = 203,pi,(800 + 300raiz5) = 16000 + 6000raiz53,pi

Passo 5

Finalmente, a relação entre os volumes do cilindro e do tronco de cone é
VcVf = 2000pil(tfrac16000+6000raiz53r)pi = 2000cdot316000+6000raiz5 = 600016000+6000raiz5 = 38+3raiz5

Resposta

VcilindroVtronco = 38 + 3raiz5

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