Em um cinema, verificou-se que o número de frequentadores ( x ) por sessão relaciona-va-se com o preço de ingresso ( p ) por meio da relação p=15-0,015 x.
Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita, se o total de lugares for 400?

Passo 1

O enunciado dá a relação entre o preço do ingresso (p) e o número de frequentadores (x) por sessão:
p = 15 - 0,015,x
Queremos maximizar a receita, que é o produto do preço pelo número de frequentadores, considerando que o cinema tem no máximo 400 lugares (ou seja, x<= 400).

Passo 2

Escrevemos a receita R em função de x:
R(x) = x cdot p = xl(15 - 0,015,xr) = 15,x - 0,015,x^2
Essa é uma função quadrática côncava (coeficiente de x^2 negativo).

Passo 3

Para a quadrática R(x)=15x-0,015x^2, o valor de x que maximiza R (vértice) é
x^* = -b2a com (a=-0,015) e (b=15),
logo
x^* = -152cdot(-0,015) = 150,03 = 500

Passo 4

Como o cinema tem no máximo 400 lugares, não podemos ter x=500. A receita cresce até x=500, então dentro do domínio permitido a receita será máxima em x=400.

Passo 5

Substituímos x=400 na relação do preço:
p = 15 - 0,015 times 400 = 15 - 6 = 9

Resposta

O preço que maximiza a receita, respeitando o limite de 400 lugares, é boxedR$,9,00 .

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