Um círculo é inscrito num triângulo A B C e tangencia os lados B C, A C e A B, respectivamente em P, Q e R . Se AB=c, AC=b e BC=a e o semiperímetro é p, calcule AR, BP e CQ .

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC com lados BC=a, AC=b, AB=c e semiperímetro
p=a+b+c2,
e o círculo inscrito tangencia BC em P, AC em Q e AB em R. Precisamos achar os comprimentos AR, BP e CQ.

Passo 2

Usamos a propriedade dos segmentos tangentes a um círculo: os dois segmentos traçados de um mesmo vértice ao ponto de tangência são iguais. Definimos:
AR = AQ = tA, BR = BP = tB, CP = CQ = tC

Passo 3

Cada lado do triângulo se particiona em dois desses t:
AB = AR + BR ;Longrightarrow; tA + tB = c,
AC = AQ + CQ ;Longrightarrow; tA + tC = b,
BC = BP + CP ;Longrightarrow; tB + tC = a

Passo 4

Somando as duas primeiras equações e subtraindo a terceira, obtemos
(tA+tB)+(tA+tC)-(tB+tC)=c+b-a ;Longrightarrow; 2tA = b + c - a ;Longrightarrow; tA = b+c-a2
Analogamente,
tB = a+c-b2, tC = a+b-c2

Passo 5

Como p=(a+b+c)/2, nota-se que
b+c-a2=p-a, a+c-b2=p-b, a+b-c2=p-c
Logo
tA = p - a, tB = p - b, tC = p - c

Resposta

AR =p - a
BP =p - b
CQ =p - c

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