Um círculo é inscrito num triângulo e tangencia os lados , A C e A B, respectivamente em P, Q e R . Se AB=c, AC=b e BC=a e o semiperímetro é p, calcule AR, BP e CQ .
Passo 1
O enunciado dá um triângulo p=a+b+c2, com lados , , e semiperímetro
e o círculo inscrito tangencia em , em e em . Precisamos achar os comprimentos , e .
Passo 2
Usamos a propriedade dos segmentos tangentes a um círculo: os dois segmentos traçados de um mesmo vértice ao ponto de tangência são iguais. Definimos:
AR = AQ = tA, BR = BP = tB, CP = CQ = tC
Passo 3
Cada lado do triângulo se particiona em dois desses AB = AR + BR ;Longrightarrow; tA + tB = c, :
AC = AQ + CQ ;Longrightarrow; tA + tC = b,
BC = BP + CP ;Longrightarrow; tB + tC = a
Passo 4
Somando as duas primeiras equações e subtraindo a terceira, obtemos
(tA+tB)+(tA+tC)-(tB+tC)=c+b-a ;Longrightarrow; 2tA = b + c - a ;Longrightarrow; tA = b+c-a2
Analogamente,
tB = a+c-b2, tC = a+b-c2
Passo 5
Como b+c-a2=p-a, a+c-b2=p-b, a+b-c2=p-c , nota-se que
tA = p - a, tB = p - b, tC = p - c
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Resposta
AR
BP
CQ
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo 10.Exercícios - Ex. 360