As circunferências de equação
x^2+y^2-10 x+2 y+16=0
x^2+y^2-8 x+4 y+16=0
interceptam-se nos pontos A e B. Determine a distância do centro da circunferência de raio maior à reta A B.

Passo 1

O enunciado dá duas circunferências que se interceptam em A e B e pede a distância do centro da de maior raio à reta AB. O conteúdo é geometria analítica: vamos achar centros e raios, obter a reta que passa por A,B (equação do eixo radical) e usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Determine centro e raio de cada circunferência completando quadrados:
Da equação
x^2+y^2-10x+2y+16=0
temos
(x-5)^2-25+(y+1)^2-1+16=0
logo
(x-5)^2+(y+1)^2=10,
portanto C1=(5,-1) e r1=raiz10.
Da equação
x^2+y^2-8x+4y+16=0
temos
(x-4)^2-16+(y+2)^2-4+16=0
logo
(x-4)^2+(y+2)^2=4,
portanto C2=(4,-2) e r2=2.

Passo 3

A reta AB é o eixo radical, dada pela diferença das equações das circunferências:
l(x^2+y^2-10x+2y+16r)-l(x^2+y^2-8x+4y+16r)=0
que simplifica para
-2x-2y=0Longrightarrow x+y=0

Passo 4

Comparando os raios, raiz10approx3,16>2. Logo a circunferência de maior raio é a de centro C1=(5,-1).

Passo 5

A distância de C1=(5,-1) à reta x+y=0 usa
d=l|a x0+b y0+cr|raiza^2+b^2
com a=1, b=1, c=0 e (x0,y0)=(5,-1):
d=l|5+(-1)r|raiz1^2+1^2 =4raiz2 =2raiz2

Resposta

2raiz2

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