Determine os pontos P e Q onde a circunferência x^2+y^2+2 x+4 y-8=0 encontra a reta cuja equação é 3 x+2 y+7=0.

Passo 1

O enunciado pede os pontos P e Q em que a circunferência
x^2+y^2+2x+4y-8=0
intersecta a reta
3x+2y+7=0
O conteúdo é geometria analítica: resolver um sistema formado pela equação da reta e pela da circunferência. Vamos isolar y na reta e depois substituir na equação da circunferência, gerando um polinômio em x.

Passo 2

Da reta ;3x+2y+7=0; isolamos y:
2y = -3x -7 Longrightarrow y = -3x+72

Passo 3

Substituímos y = -tfrac3x+72 na equação da circunferência. Primeiro computamos
y^2 = gl(-3x+72gr)^2 = 9x^2+42x+494
Logo,
x^2 + y^2 + 2x + 4y - 8 = 0 ;Longrightarrow; x^2 + 9x^2+42x+494 + 2x + 4l(-3x+72r) -8 = 0
Multiplicando tudo por 4 para eliminar denominadores:
4x^2 + (9x^2+42x+49) + 8x -8(3x+7) -32 = 0

Passo 4

Simplificando os termos:
4x^2 + 9x^2 + 42x +49 +8x -24x -56 -32 = 0 ;Longrightarrow; 13x^2 +26x -39 = 0
Dividindo por 13:
x^2 +2x -3 = 0 ;Longrightarrow; x = -2pmraiz4+122 = -2pm42,
isto é,
x = 1 ou x = -3

Passo 5

Para cada valor de x encontramos y usando y = -tfrac3x+72:
  • Se x=1, então y = -3cdot1+72 = -102 = -5
  • Se x=-3, então y = -3cdot(-3)+72 = --9+72 = --22 = 1

Resposta

Os pontos de interseção são
P = (1,-5) e Q = (-3,,1)

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