Prove que cada função abaixo é bijetora e determine sua inversa:
g: R-4 R-1 tal que g(x)=x+1x-4

Passo 1

O enunciado define
gcolon Rsetminus4to Rsetminus1, g(x)=x+1x-4,
e pede para mostrarmos que g é bijetora (isto é, injetiva e sobrejetiva) e, em seguida, encontrarmos sua inversa g^-1. Para isso vamos usar as definições:
  • g é injetiva se, sempre que g(x1)=g(x2), então x1=x2.
  • g é sobrejetiva se, dado qualquer yinRsetminus1, existe xinRsetminus4 tal que g(x)=y.

Passo 2

Prova de injetividade. Suponha que
g(x1)=g(x2),
ou seja
x1+1x1-4=x2+1x2-4
Como x1neq4 e x2neq4, podemos multiplicar em cruz:
(x1+1)(x2-4)=(x2+1)(x1-4)
Desenvolvendo ambos os lados:
x1x2-4x1 + x2 -4 = x1x2 -4x2 + x1 -4
Cancelando x1x2 e o -4 de ambos os lados, obtemos
-4x1 + x2 = -4x2 + x1 Longrightarrow x2 +4x2 = x1 +4x1 Longrightarrow 5x2 = 5x1 Longrightarrow x2 = x1
Logo g é injetiva.

Passo 3

Prova de sobrejetividade. Tome um valor arbitrário yinRsetminus1. Queremos achar x tal que
y = x+1x-4
Multiplicando em cruz (lembrando que yneq1 impede divisão por zero adiante),
y(x-4)=x+1 Longrightarrow yx - 4y = x + 1 Longrightarrow yx - x = 4y + 1 Longrightarrow x(y-1)=4y+1
Como yneq1, divide-se por (y-1):
x = 4y+1y-1
Note que esse x não pode ser 4, pois se fosse, teríamos
4 = 4y+1y-1 Longrightarrow 4(y-1) = 4y+1 Longrightarrow 4y -4 = 4y +1 Longrightarrow -4 = 1,
o que é impossível. Portanto xinRsetminus4 e satisfaz g(x)=y. Assim g é sobrejetiva.

Passo 4

Como g é injetiva e sobrejetiva, é bijetora. A expressão que encontramos em

Passo 5

x = 4y+1y-1
é exatamente a inversa de g. Assim, para yinRsetminus1,
g^-1(y) = 4y+1y-1,
com domínio Rsetminus1 e contradomínio Rsetminus4.

Resposta

A função g é bijetora e sua inversa é
g^-1(y)=4y+1y-1,
com domínio yinRsetminus1.

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