Prove que cada função abaixo é bijetora e determine sua inversa:
tal que
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrarmos que
é bijetora (isto é, injetiva e sobrejetiva) e, em seguida, encontrarmos sua inversa
. Para isso vamos usar as definições:
-
é injetiva se, sempre que , então . -
é sobrejetiva se, dado qualquer , existe tal que .
Passo 2
Prova de injetividade. Suponha que
ou seja
Como
e
, podemos multiplicar em cruz:
Desenvolvendo ambos os lados:
Cancelando
e o
de ambos os lados, obtemos
Logo
é injetiva.
Passo 3
Prova de sobrejetividade. Tome um valor arbitrário
. Queremos achar
tal que
Multiplicando em cruz (lembrando que
impede divisão por zero adiante),
Como
, divide-se por
:
Note que esse
não pode ser
, pois se fosse, teríamos
o que é impossível. Portanto
e satisfaz
. Assim
é sobrejetiva.
Passo 4
Como
é injetiva e sobrejetiva, é bijetora. A expressão que encontramos em
Passo 5
é exatamente a inversa de
. Assim, para
,
com domínio
e contradomínio
.
Resposta
A função
é bijetora e sua inversa é
com domínio
.