Classifique e resolva o sistema abaixo, utilizando o teorema de Rouché-Capelli.
x+y-2 z & =4 -x+4 y-3 z & =1 2 x+2 y+z & =2

Passo 1

O enunciado pede para classificar e resolver, pelo teorema de Rouché–Capelli, o sistema
x + y - 2z = 4, -,x + 4y - 3z = 1, 2x + 2y + z = 2
O conteúdo envolve sistemas lineares, cálculo de postos (ranks) de matrizes e eliminação de variáveis.

Passo 2

Definimos a matriz de coeficientes A e a matriz ampliada [Amid b]:
A = 1 & 1 & -2 -1 & 4 & -3 2 & 2 & 1 ,
[Amid b] = 1 & 1 & -2 & 4 -1 & 4 & -3 & 1 2 & 2 & 1 & 2

Passo 3

Para aplicar Rouché–Capelli, calculamos o determinante de :
Como , temos . E, obviamente, também.

Passo 4

Pelo teorema de Rouché–Capelli, igual ao número de incógnitas, logo o sistema é possível e determinado, com única solução.

Passo 5

Para resolver, usamos eliminação. Soma a primeira e a segunda equação para eliminar x:
(x+y-2z)+(-x+4y-3z)=4+1 ;Longrightarrow;5y-5z=5 ;Longrightarrow;y-z=1 ;Longrightarrow;y=z+1

Passo 6

Substituímos y=z+1 na terceira equação 2x+2y+z=2:
2x+2(z+1)+z=2 ;Longrightarrow;2x+2z+2+z=2 ;Longrightarrow;2x+3z=0 ;Longrightarrow;x=-tfrac32z

Passo 7

Agora usamos x=-tfrac32z e y=z+1 na primeira equação x+y-2z=4:
-tfrac32z + (z+1) -2z =4 ;Longrightarrow;- tfrac32z + z -2z +1 =4 ;Longrightarrow;- tfrac52z =3 ;Longrightarrow;z = -tfrac65
Então
x = -tfrac32l(-tfrac65r) = tfrac95, y = z+1 = -tfrac65+1 = -tfrac15

Resposta

O sistema é possível e determinado, e sua única solução é
x = tfrac95, y = -tfrac15, z = -tfrac65

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