Classifique o sistema abaixo, utilizando o teorema de Rouché-Capelli.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos o sistema
l -x+3y-z=2, 3x-y+2z=1, 2x+2y+z=3,
e queremos classificá-lo usando o teorema de Rouché–Capelli. Para isso, vamos calcular o posto (rank) da matriz de coeficientes e o da matriz aumentada.
Passo 2
Montamos a matriz de coeficientes e a matriz aumentada :
Calculamos o determinante de :
Como , segue que .
Passo 3
Para determinar , verificamos um menor não-nulo. Por exemplo, usando as duas primeiras linhas e colunas de :
Logo .
Passo 4
Agora conferimos . Basta ver que todos os menores que incluem a coluna são zero. Por exemplo, substituindo a terceira coluna por :
O mesmo vale para as outras escolhas de coluna substituída. Assim .
Passo 5
Pelo teorema de Rouché–Capelli, como
o sistema é compatível indeterminado, ou seja, tem infinitas soluções.
Resposta
O sistema é possível indeterminado (infinitas soluções).
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 437