Em que condições o sistema
l (k1+k2) x+(k2-k3) y+(k1-k3) z=0 (k2-k1) x+(k2+k3) y+(k3-k1) z=0 (k1-k2) x+(k3-k2) y+(k3+k1) z=0
só admite a solução trivial?

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema homogêneo de três equações lineares em (x,y,z) cujos coeficientes dependem dos parâmetros k1,k2,k3. O objetivo é descobrir para quais valores de k1,k2,k3 a única solução é a trivial (x,y,z)=(0,0,0). Para isso vamos calcular o determinante da matriz de coeficientes e exigir que ele seja diferente de zero, pois num sistema homogêneo a existência só da solução trivial ocorre exatamente quando a matriz é invertível, ou seja, quando detneq0.

Passo 2

Escrevemos a matriz A dos coeficientes:
A = k1+k2 & k2-k3 & k1-k3 k2-k1 & k2+k3 & k3-k1 k1-k2 & k3-k2 & k3+k1
Vamos calcular det(A) pela regra de Sarrus ou pelo desenvolvimento por cofatores.

Passo 3

Após alguma álgebra (expandindo cofatores e agrupando termos) chega-se à forma simplificada
det(A) =2l[(k1+k2)(k1-k3)(k2-k3)+4,k1k2k3r]
Podemos checar casos especiais, por exemplo se k1=k2=k3=k então det(A)=8k^3, o que confere com a fórmula acima.

Passo 4

Portanto, a condição para que o sistema só tenha a solução trivial é
det(A)neq0 ;Long<=ftrightarrow; 2l[(k1+k2)(k1-k3)(k2-k3)+4,k1k2k3r]neq0
Como o fator 2 não anula nada, basta exigir
(k1+k2)(k1-k3)(k2-k3)+4,k1k2k3neq0

Resposta

O sistema admite apenas a solução trivial se, e somente se,
(k1+k2)(k1-k3)(k2-k3)+4,k1k2k3neq0

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