Determine as características das seguintes matrizes:
b) [rrrr1 & 2 & 1 & 2 -1 & 1 & 1 & 1 1 & 0 & 1 & 0 3 & 1 & -1 & 3]

Passo 1

O enunciado pede para determinarmos as características da matriz
A= 1 & 2 & 1 & 2 -1 & 1 & 1 & 1 1 & 0 & 1 & 0 3 & 1 & -1 & 3
Os principais itens que vamos calcular são: ordem da matriz, determinante, posto (rank), invertibilidade e traço.

Passo 2

A matriz A tem 4 linhas e 4 colunas, logo é uma matriz de ordem 4times4.

Passo 3

Para calcular o determinante de A, aplicamos operações de linha que não alteram (ou alteram de forma controlada) o valor do determinante, visando chegar a uma forma triangular. Começamos com
1 & 2 & 1 & 2 -1 & 1 & 1 & 1 1 & 0 & 1 & 0 3 & 1 & -1 & 3
Fazemos
R2 R2 + R1,
R3 R3 - R1,
R4 R4 - 3 cdot R1
Longrightarrow 1 & 2 & 1 & 2 0 & 3 & 2 & 3 0 & -2 & 0 & -2 0 & -5 & -4 & -3
Como não trocamos linhas, o determinante de A é o produto dos pivôs dessa forma triangular, que coincide com o determinante da submatriz 3 times 3 das colunas 2 4:
N= 3 & 2 & 3 -2 & 0 & -2 -5 & -4 & -3

Passo 4

Calculamos det(N) por expansão na primeira linha:
det(N) =3det!0 & -2-4 & -3 -2det!-2 & -2-5 & -3 +3det!-2 & 0-5 & -4
Cada menor vale
det0 & -2-4 & -3 =0cdot(-3)-(-2)cdot(-4)=-8,
det-2 & -2-5 & -3 =(-2)cdot(-3)-(-2)cdot(-5)=6-10=-4,
det-2 & 0-5 & -4 =(-2)cdot(-4)-0cdot(-5)=8
Logo
det(N)=3cdot(-8)-2cdot(-4)+3cdot8=-24+8+24=8
Como não fizemos trocas de linhas em A, temos
det(A)=1cdotdet(N)=8

Passo 5

Como det(A)=8neq0, concluímos que A é invertível e, portanto, o posto de A é o máximo possível:
rank(A)=4

Passo 6

O traço de A é a soma dos elementos da diagonal principal:
tr(A)=1+1+1+3=6

Resposta

Matriz de ordem 4times4, det(A)=8, rank(A)=4, invertível, traço tr(A)=6.

Exercícios de Livros Relacionados