Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sentenças abaixo:
a)
raizx^4=x^2, forall x in R
b)
raizx^10=x^5, forall x in R
c)
raizx^6=x^3, forall x in R+
d)
raiz(x-1)^2=x-1, forall x in R e x >= 1
e)
raiz(x-3)^2=3-x, forall x in R e x <= 3

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeira ou falsa algumas simplificações de radicais do tipo raizx^m. O conteúdo principal é a propriedade
raizu^2 = |u|,
que se estende a potências pares:
raizx^2n = |x^n|
Vamos aplicar isso em cada item considerando os domínios dados.

Passo 2

De modo geral, para todo xinR e inteiro n>=1, vale
raizx^2n = |x^n|

Passo 3

Item (a): raizx^4 = |x^2|. Como x^2>=0 para todo x, temos |x^2| = x^2. Logo
raizx^4 = x^2, forall xinR,
é verdadeira.

Passo 4

Item (b): raizx^10 = |x^5|. Aqui |x^5|=x^5 somente se x^5>=0, ou seja x>=0. Para x<0 teríamos |x^5|=-x^5neq x^5. Portanto a igualdade dada para todo xinR é falsa.

Passo 5

Item (c): domínio xinR+ (ou seja x>=0). Então
raizx^6 = |x^3|
Como x>=0 implica x^3>=0, temos |x^3|=x^3. Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 6

Item (d): domínio xinR com x>=1. Temos
raiz(x-1)^2 = |x-1|
Para x>=1, x-1>=0 e portanto |x-1|=x-1. A igualdade é verdadeira nesse domínio.

Passo 7

Item (e): domínio xinR com x<=3. Novamente
raiz(x-3)^2 = |x-3|
Para x<=3, x-3<=0 e então |x-3|=-(x-3)=3-x. A afirmação é verdadeira nesse domínio.

Resposta

a) V
b) F
c) V
d) V
e) V

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