Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Quaisquer que sejam os pontos
e
, se
é distinto de
, então existe uma reta a tal que
e
.
b) Quaisquer que sejam os pontos P e Q e as retas
e s, se P é distinto de Q , e P e Q pertencem às retas
e s, então
.
c) Qualquer que seja uma reta
, existem dois pontos
e
tais que
é distinto de
, com
.
d) Se
, existe uma reta
tal que
.
a) Quaisquer que sejam os pontos
b) Quaisquer que sejam os pontos P e Q e as retas
c) Qualquer que seja uma reta
d) Se
Passo 1
O enunciado pede para classificar quatro proposições sobre pontos e retas em verdadeiro ou falso. O conteúdo é os axiomas de incidência em geometria: existência e unicidade de reta determinada por pontos, e mínimo de dois pontos em cada reta.
Passo 2
Proposição (a): “Quaisquer que sejam os pontos
e
, se
, então existe uma reta
tal que
e
.”
Isto é exatamente o axioma de existência de reta por dois pontos distintos. Logo é verdadeiro.
Isto é exatamente o axioma de existência de reta por dois pontos distintos. Logo é verdadeiro.
Passo 3
Proposição (b): “Quaisquer que sejam os pontos
e
e as retas
e
, se
, e
e
, então
.”
Isto é o axioma de unicidade da reta por dois pontos distintos. Portanto é verdadeiro.
Isto é o axioma de unicidade da reta por dois pontos distintos. Portanto é verdadeiro.
Passo 4
Proposição (c): “Qualquer que seja uma reta
, existem dois pontos
e
tais que
, com
e
.”
Isto afirma que cada reta contém pelo menos dois pontos distintos, que também é um dos axiomas de incidência. Logo é verdadeiro.
Isto afirma que cada reta contém pelo menos dois pontos distintos, que também é um dos axiomas de incidência. Logo é verdadeiro.
Passo 5
Proposição (d): “Se
, existe uma reta
tal que
.”
Aqui só sabemos que existe reta por dois pontos distintos; não há axioma garantindo que todo ponto pertença a alguma reta. Assim, para não há garantia de existência de reta que passe por esse único ponto. Logo é falso.
Aqui só sabemos que existe reta por dois pontos distintos; não há axioma garantindo que todo ponto pertença a alguma reta. Assim, para
Resposta
(a) V
(b) V
(c) V
(d) F
(b) V
(c) V
(d) F