Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Quaisquer que sejam os pontos A e B, se A é distinto de B, então existe uma reta a tal que A in a e B in a.
b) Quaisquer que sejam os pontos P e Q e as retas r e s, se P é distinto de Q , e P e Q pertencem às retas r e s, então r=s.
c) Qualquer que seja uma reta r, existem dois pontos A e B tais que A é distinto de B, com A in r e B in r.
d) Se A=B, existe uma reta r tal que A, B in r.

Passo 1

O enunciado pede para classificar quatro proposições sobre pontos e retas em verdadeiro ou falso. O conteúdo é os axiomas de incidência em geometria: existência e unicidade de reta determinada por pontos, e mínimo de dois pontos em cada reta.

Passo 2

Proposição (a): “Quaisquer que sejam os pontos A e B, se Aneq B, então existe uma reta a tal que Ain a e Bin a.”
Isto é exatamente o axioma de existência de reta por dois pontos distintos. Logo é verdadeiro.

Passo 3

Proposição (b): “Quaisquer que sejam os pontos P e Q e as retas r e s, se Pneq Q, e P,Qin r e P,Qin s, então r=s.”
Isto é o axioma de unicidade da reta por dois pontos distintos. Portanto é verdadeiro.

Passo 4

Proposição (c): “Qualquer que seja uma reta r, existem dois pontos A e B tais que Aneq B, com Ain r e Bin r.”
Isto afirma que cada reta contém pelo menos dois pontos distintos, que também é um dos axiomas de incidência. Logo é verdadeiro.

Passo 5

Proposição (d): “Se A=B, existe uma reta r tal que A,Bin r.”
Aqui só sabemos que existe reta por dois pontos distintos; não há axioma garantindo que todo ponto pertença a alguma reta. Assim, para A=B não há garantia de existência de reta que passe por esse único ponto. Logo é falso.

Resposta

(a) V
(b) V
(c) V
(d) F

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