Um clube vem perdendo sócios a um ritmo constante ano após ano, tendo registrado 14 mil sócios em 2004 e apenas 8 mil sócios em 2013.
a) Defina uma função linear (ou afim) S(t) que forneça o número de sócios do clube no ano t, supondo que t seja zero no ano 2000.
b) O clube pretende fechar suas portas se o número de sócios chegar a 2 mil. Usando a função que você encontrou no item (a), determine em que ano isso ocorrerá.

Passo 1

O enunciado diz que o número de sócios do clube decresce de forma linear, tendo sido registrados 14 mil sócios em 2004 e 8 mil em 2013. Precisamos:
  1. Modelar essa variação por uma função afim S(t), onde t é o número de anos após 2000 (ou seja, t=0 em 2000).
  2. Determinar em que ano S(t) chegará a 2 mil sócios, usando a função encontrada.

Passo 2

Calcular o coeficiente angular m da reta que une (t,S) em (4,14) e (13,8):
m = 8 - 1413 - 4 = -69 = -23
Isso significa que o clube perde tfrac23 mil sócios por ano.

Passo 3

Agora achamos o coeficiente linear b pela condição S(4)=14:
S(4) = mcdot4 + b = -23cdot4 + b = -83 + b = 14
b = 14 + 83 = 42 + 83 = 503
Logo a função que dá o número de sócios (em milhares) é
boxedS(t) = -23,t + 503

Passo 4

Para achar quando S(t)=2 (isto é, 2 mil sócios), resolvemos
-23,t + 503 = 2
Multiplicando tudo por 3:
-2t + 50 = 6 Longrightarrow -2t = -44 Longrightarrow t = 22
Como t conta anos após 2000, o clube chega a 2 mil sócios em 2000 + 22 = 2022.

Resposta

(a) S(t) = -tfrac23,t + tfrac503 (sendo S em milhares de sócios e t=0 em 2000).
(b) O número de sócios atinge 2 mil no ano de 2022.

Exercícios de Livros Relacionados