O número de habitantes de Mapará vem crescendo nos últimos anos segundo a função linear m(t)=1.100+50 t, em que t é o tempo, em anos, contado a partir do ano 2000 (ou seja, t=0 no ano 2000). Já a população de Caititu vem diminuindo ao longo dos anos, tendo baixado dos 2.350 habitantes no ano 2000 para 1.750 em 2008 .
a) Defina a função linear (ou afim) c(t) que fornece o número de habitantes de Caititu em relação ao tempo t, em anos, transcorrido desde 2000.
b) Determine em que instante as duas cidades tiveram o mesmo número de habitantes.

Passo 1

O enunciado nos dá duas populações em função do tempo t (analisado em anos desde 2000):
– Mapará cresce segundo a função linear
m(t)=1100+50,t
– Caititu decresce, passando de 2350 habitantes em t=0 (ano 2000) para 1750 habitantes em t=8 (ano 2008).
Precisamos (a) obter a expressão da função afim c(t) de Caititu e (b) encontrar o instante t em que m(t)=c(t).

Passo 2

Para achar c(t) usamos a forma geral da função afim
c(t)=c0 + a,t,
onde c0 é a população em t=0 e a é a taxa de variação. Aqui c0=2350. A taxa a é o coeficiente angular, calculado por
a=c(8)-c(0)8-0 = 1750-23508 = -6008 = -75
Logo
c(t)=2350 - 75,t

Passo 3

Para achar o instante em que as populações se igualam, resolvemos
m(t)=c(t) Longrightarrow 1100 + 50,t = 2350 - 75,t
Reorganizando,
50,t + 75,t = 2350 - 1100 Longrightarrow 125,t = 1250 Longrightarrow t = 10
Isso significa 10 anos após 2000, ou seja, no ano 2010.

Resposta

a) c(t)=2350 - 75,t
b) As duas cidades tiveram o mesmo número de habitantes em t=10, isto é, no ano 2010.

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