(CM Salvador-2006) Simplificando a expressão \frac{a^{6}+2 a^{3}+1}{a^{2}+2 a+1}, para todo a \in R-\{-1\}, obtemos:
(A) a^{4}+a^{2}+1
(B) a^{2}+a+1
(C) a^{3}+a^{2}+1
(D) \left(a^{2}-a+1\right)^{2}
(E) (a+1)\left(a^{2}-a+1\right)

Passo 1

O enunciado pede simplificar a expressão
\frac{a^6 + 2a^3 + 1}{a^2 + 2a + 1}
usando fatoração de polinômios e cancelamento de fatores.

Passo 2

Observamos que o numerador é um quadrado perfeito, pois
a^6 + 2a^3 + 1 = (a^3)^2 + 2\cdot a^3 + 1 = (a^3 + 1)^2.

Passo 3

O denominador também é um quadrado perfeito:
a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2.

Passo 4

Substituindo, a expressão fica
\frac{a^6 + 2a^3 + 1}{a^2 + 2a + 1} = \frac{(a^3 + 1)^2}{(a + 1)^2} = \left(\frac{a^3 + 1}{a + 1}\right)^2.

Passo 5

Fatoramos a soma de cubos no numerador interno:
a^3 + 1 = (a + 1)(a^2 - a + 1).
Como a \neq -1, podemos cancelar o fator (a+1), restando
a^2 - a + 1.
Logo a expressão simplificada é
\bigl(a^2 - a + 1\bigr)^2.

Resposta

(a^2 - a + 1)^2 (alternativa D)

Exercícios de Livros Relacionados