(Colégio Naval-2001/2002) As dimensões de um retângulo são, em metros, indicadas por x e y. Sua área aumenta 52 \mathrm{~m}^{2} quando acrescenta-se 2 m a x e 4 m a y. Sua superficie diminui 52 \mathrm{~m}^{2} quando subtrai-se 2 m de x e 8 m de y . Qual o valor de x ?
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9

Passo 1

O enunciado diz que um retângulo de dimensões x e y tem área xy. Quando aumentamos x em 2 e y em 4, a área cresce em 52. Quando diminuímos x em 2 e y em 8, a área cai em 52. Vamos traduzir isso em duas equações lineares para x e y.

Passo 2

A primeira condição é
(x+2)(y+4)-xy = 52.
Expandindo e simplificando:
xy + 4x + 2y + 8 - xy = 52 \quad\Longrightarrow\quad 4x + 2y = 44 \quad\Longrightarrow\quad 2x + y = 22.

Passo 3

A segunda condição é
xy - (x-2)(y-8) = 52.
Expandindo e simplificando:
xy - \bigl(xy -8x -2y +16\bigr) = 52 \quad\Longrightarrow\quad 8x + 2y -16 = 52 \quad\Longrightarrow\quad 8x + 2y = 68 \quad\Longrightarrow\quad 4x + y = 34.

Passo 4

Agora resolvemos o sistema
\begin{cases} 2x + y = 22,\\\\ 4x + y = 34. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda:
(4x+y)-(2x+y)=34-22 \quad\Longrightarrow\quad 2x=12 \quad\Longrightarrow\quad x=6.

Passo 5

Com x=6, teríamos y=22-2\cdot6=10, mas o que importa é que x=6.

Resposta

6

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