(Colégio Naval-2002) Se 2<x<3, ention \sqrt{x+2 \sqrt{x-1}}-\sqrt{x-2 \sqrt{x-1}} é igual a:
a) 2
b) \sqrt{x}
c) 2 \sqrt{x-1}
d) 2 \sqrt{x}
e) 3

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\sqrt{x + 2\sqrt{x-1}}\;-\;\sqrt{x - 2\sqrt{x-1}}
no intervalo 2 < x < 3. O conteúdo principal é manipulação algébrica de radicais e uso da propriedade \sqrt{a^2}=|a|.

Passo 2

Definimos
t = \sqrt{x-1},
logo
x = t^2 + 1.

Passo 3

Substituindo em cada radicando, obtemos
x + 2\sqrt{x-1} = t^2 + 1 + 2t = (t+1)^2,
x - 2\sqrt{x-1} = t^2 + 1 - 2t = (t-1)^2.
A expressão vira então
\sqrt{(t+1)^2}\;-\;\sqrt{(t-1)^2} = |t+1| - |t-1|.

Passo 4

Como 2 < x < 3 temos 1 < t = \sqrt{x-1} < \sqrt{2}, ou seja, t+1>0 e t-1>0. Logo
|t+1| = t+1, \quad |t-1| = t-1.

Passo 5

Substituindo no resultado absoluto,
|t+1| - |t-1| = (t+1) - (t-1) = 2.

Resposta

2

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