(Colégio Naval-2002) Quatro corredores, João, Pedro, André e Fábio combinaram que, ao final de cada corrida, o que ficasse em último lugar dobraria o dinheiro que cada um dos outros possuía. Competiram 4 vezes e ficaram em último lugar na 1^{a}, 2^{a}, 3^{a} e 4^{a} corridas, respectivamente, João, Pedro, André e Fábio. Se no final da 4^{\text {a }} competição, cada um ficou com R$ 16,00, então, inicialmente João possuía:
a) \mathrm{R} \ 5,00$
b) R \ 9,00$
c). R \ 16,00$
d) \mathrm{R} \ 17,00$

Passo 1

Temos quatro jogadores com quantias iniciais J_0,P_0,A_0,F_0. A cada corrida, quem fica em último “dobra” o dinheiro de cada um dos outros três (isto é, paga a cada um deles um valor igual ao que eles já têm, de modo que o dinheiro de cada um dos outros passa a ser o dobro). Competiram quatro vezes e, em cada vez, o último foi, respectivamente, João, Pedro, André e Fábio. Depois da 4ª dobra (ao final da 4ª corrida) cada um ficou com R$ 16,00. Queremos J_0.
O conteúdo usado é o acompanhamento da evolução das quantias passo a passo.

Passo 2

Depois da 1ª corrida (João em último):
J_1 = J_0, \quad P_1 = 2P_0, \quad A_1 = 2A_0, \quad F_1 = 2F_0.

Passo 3

Depois da 2ª corrida (Pedro em último):
P_2 = P_1, \quad J_2 = 2J_1 = 2J_0, \quad A_2 = 2A_1 = 4A_0, \quad F_2 = 2F_1 = 4F_0.

Passo 4

Depois da 3ª corrida (André em último):
A_3 = A_2 = 4A_0, \quad J_3 = 2J_2 = 4J_0, \quad P_3 = 2P_2 = 2P_1 = 4P_0, \quad F_3 = 2F_2 = 8F_0.

Passo 5

Depois da 4ª corrida (Fábio em último):
F_4 = F_3 = 8F_0, \quad J_4 = 2J_3 = 8J_0, \quad P_4 = 2P_3 = 8P_0, \quad A_4 = 2A_3 = 8A_0.

Passo 6

Como ao final todos têm R$ 16,00, igualamos
8J_0 = 16 \;\Longrightarrow\; J_0 = 2.

Resposta

Inicialmente João possuía R$ 2,00.

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