(Colégio Naval-2003) Se a=\sqrt{4-\sqrt{10}+2 \sqrt{5}} e b=\sqrt{4+\sqrt{10+2 \sqrt{5}}}, então \mathbf{a}+\mathbf{b} é igual a :
a) \sqrt{10}
b) 4
c) 2 \sqrt{2}
d) \sqrt{5}+1
e) \sqrt{3}+2

Passo 1

O enunciado dá as duas quantidades
a = \sqrt{\,4 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}\,} \quad\text{e}\quad b = \sqrt{\,4 + \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}\,}
e pede para encontrar a + b. O conteúdo principal é a manipulação de radicais aninhados e o uso de identidades que permitam simplificar a+b sem ter de extrair cada um isoladamente.

Passo 2

Definimos
L = \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}
para reescrever
a^2 = 4 - L, \quad b^2 = 4 + L.

Passo 3

Para encontrar a+b, começamos computando (a+b)^2:
(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = (4 - L) + (4 + L) + 2\,ab = 8 + 2\,ab.

Passo 4

Calculamos agora o produto ab:
ab = \sqrt{(4 - L)\,(4 + L)} = \sqrt{16 - L^2}.
Mas
L^2 = 10 + 2\sqrt{5} \quad\Longrightarrow\quad 16 - L^2 = 6 - 2\sqrt{5}.
Note que
6 - 2\sqrt{5} = (\sqrt{5} - 1)^2,
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ab = \sqrt{\,(\sqrt{5}-1)^2\,} = \sqrt{5} - 1
(assumindo sinal positivo, pois a,b>0).

Passo 5

Substituindo em (a+b)^2:
(a+b)^2 = 8 + 2(\sqrt{5}-1) = 6 + 2\sqrt{5} = (\sqrt{5}+1)^2.
Como a+b>0, temos
a+b = \sqrt{5} + 1.

Resposta

\sqrt{5}+1 (alternativa d)

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