(UECE-2005) Considerando o universo dos números reais, a desigualdade m^{2}+n^{2} \geq 2 m n é verdadeira:
a) Somente para números inteiros
b) Somente quando m \geq n
c) Para todos os números reais
d) Para todos os números positivos, exclusivamente

Passo 1

O enunciado pede para identificar em que casos, no universo dos números reais, vale a desigualdade
m^{2} + n^{2} \ge 2mn.
O conteúdo envolvido é completar o quadrado e usar que o quadrado de qualquer número real é não-negativo.

Passo 2

Reescrevemos a diferença entre os dois lados como
m^{2} + n^{2} - 2mn = (m - n)^{2}.

Passo 3

Como para quaisquer m,n\in\mathbb{R} vale
(m - n)^{2} \ge 0,
concluímos que
m^{2} + n^{2} \ge 2mn
sempre se verifica no conjunto dos números reais.

Resposta

(c)

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