(UEL-2010) Considere as afirmativas a seguir:
  1. \sqrt{3+2 \sqrt{2}}=\sqrt{2}+1
    II. \sqrt{2+\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}+\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}
    III. \sqrt{3+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{2}
    IV. \sqrt{1+\sqrt[3]{2}} é uma das soluçōes de \left(x^{2}-1\right)^{3}=2 Assinale a alternativa correta.
    a) Somente as afirmativas I e IV são corretas.
    b) Somente as afirmativas II e III são corretas.
    c) Somente as afirmativas III e IV são corretas.
    d) Somente as afirmativas I, II e III são corretas.
    e) Somente as afirmativas I, II e IV são corretas.

Passo 1

O enunciado apresenta quatro afirmativas envolvendo manipulação de radicais e pede para identificar quais são verdadeiras. O conteúdo usado será: desenvolvimento de quadrado de soma para I, soma de radicais para II, comparação numérica para III e resolução da equação \bigl(x^2-1\bigr)^3=2 para IV.

Passo 2

Analisando I:
\sqrt{3+2\sqrt{2}} \overset{?}{=} \sqrt{2}+1.
Elevar ambos os lados ao quadrado dá
(\sqrt{2}+1)^2 = 2 + 1 + 2\sqrt{2} = 3 + 2\sqrt{2},
que coincide com o radicando e ambos os lados são não negativos. Logo I é correta.

Passo 3

Analisando II:
\sqrt{2+\sqrt{2}} \overset{?}{=} \sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{2}} + \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}.
Chame
a = \frac{2+\sqrt{2}}{2},\quad b = \frac{2-\sqrt{2}}{2}.
Então
a+b = 2,\quad ab = \frac{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}{4} = \tfrac{2}{4}=\tfrac12,
e
\Bigl(\sqrt{a}+\sqrt{b}\Bigr)^2 = a+b + 2\sqrt{ab} = 2 + 2\sqrt{\tfrac12} = 2 + \sqrt{2}.
Como todos os termos são não negativos, a igualdade se mantém. Logo II é correta.

Passo 4

Analisando III:
\sqrt{3+\sqrt{5}} \overset{?}{=} \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac12.
Numericamente,
\sqrt{3+\sqrt{5}}\approx \sqrt{3+2{,}236}= \sqrt{5{,}236}\approx2{,}288
enquanto
\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac12 \approx1{,}118+0{,}5=1{,}618.
Os valores são diferentes, logo III é falsa.

Passo 5

Analisando IV:
A equação \bigl(x^2-1\bigr)^3=2 implica
x^2-1 = \sqrt[3]{2}\quad\Longrightarrow\quad x^2 = 1 + \sqrt[3]{2}\quad\Longrightarrow\quad x = \pm \sqrt{1+\sqrt[3]{2}}.
Portanto \sqrt{1+\sqrt[3]{2}} é de fato uma das soluções reais. Logo IV é correta.

Resposta

Somente as afirmativas I, II e IV são corretas. (Alternativa e)

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