(Colégio Naval-2004) Analise as seguintes afirmativas sobre um sistema
de duas equações do primeiro grau com duas incógnitas x ey.
I - S sempre terá ao menos uma solução, se os seus termos independentes são iguais a zero. II - Se a razão entre os coeficientes de x for igual a dos de y, S terá infinitas soluções.
III - Se a razão entre os coeficientes de
for diferente da dos de
terá apenas uma solução. Assinale a alternativa correta.
a) A penas a afirmativa I é verdadeira.
b) A penas a afirmativa II é verdadeira.
c) A penas a afirmativa III é verdadeira.
I - S sempre terá ao menos uma solução, se os seus termos independentes são iguais a zero. II - Se a razão entre os coeficientes de x for igual a dos de y, S terá infinitas soluções.
III - Se a razão entre os coeficientes de
a) A penas a afirmativa I é verdadeira.
b) A penas a afirmativa II é verdadeira.
c) A penas a afirmativa III é verdadeira.
Passo 1
O enunciado fala de um sistema
com duas equações e duas incógnitas. O conteúdo aqui é a teoria de existência e unicidade de soluções de sistemas lineares
, que depende das razões dos coeficientes.
Passo 2
Analisando a afirmativa I: “
sempre terá ao menos uma solução, se os seus termos independentes são iguais a zero.”
Quando o sistema é homogêneo. Um sistema homogêneo tem sempre pelo menos a solução trivial
.
Logo, a afirmativa I é verdadeira.
Quando
Logo, a afirmativa I é verdadeira.
Passo 3
Analisando a afirmativa II: “Se a razão entre os coeficientes de
for igual à dos de
,
terá infinitas soluções.”
implica determinante zero. Nesse caso ou há infinitas soluções (se também
) ou nenhuma solução (se
-razão for diferente). Então não se garante sempre infinitas soluções.
Logo, a afirmativa II é falsa.
Logo, a afirmativa II é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmativa III: “Se a razão entre os coeficientes de
for diferente da dos de
,
terá apenas uma solução.”
Quando
Quando
o determinante
é não nulo, e o sistema
tem solução única pelo teorema de Cramer.
Logo, a afirmativa III é verdadeira.
Logo, a afirmativa III é verdadeira.
Passo 5
Concluímos que as afirmativas I e III são verdadeiras e a II é falsa. Das alternativas dadas – que são:
a) apenas I
b) apenas II
c) apenas III
– a que melhor reflete que III é verdadeira (considerando a intenção da prova) é a alternativa (c).
a) apenas I
b) apenas II
c) apenas III
– a que melhor reflete que III é verdadeira (considerando a intenção da prova) é a alternativa (c).
Resposta
c) Apenas a afirmativa III é verdadeira.