(Colégio Naval-2004) Analise as seguintes afirmativas sobre um sistema \mathbf{S} de duas equações do primeiro grau com duas incógnitas x ey.
I - S sempre terá ao menos uma solução, se os seus termos independentes são iguais a zero. II - Se a razão entre os coeficientes de x for igual a dos de y, S terá infinitas soluções.
III - Se a razão entre os coeficientes de \mathbf{x} for diferente da dos de \mathbf{y}, \mathbf{S} terá apenas uma solução. Assinale a alternativa correta.
a) A penas a afirmativa I é verdadeira.
b) A penas a afirmativa II é verdadeira.
c) A penas a afirmativa III é verdadeira.

Passo 1

O enunciado fala de um sistema
\begin{cases} a_{1}x + b_{1}y = c_{1},\\\ a_{2}x + b_{2}y = c_{2}, \end{cases}
com duas equações e duas incógnitas. O conteúdo aqui é a teoria de existência e unicidade de soluções de sistemas lineares 2\times 2, que depende das razões dos coeficientes.

Passo 2

Analisando a afirmativa I: “ S sempre terá ao menos uma solução, se os seus termos independentes são iguais a zero.”
Quando c_{1}=c_{2}=0 o sistema é homogêneo. Um sistema homogêneo tem sempre pelo menos a solução trivial (x,y)=(0,0).
Logo, a afirmativa I é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmativa II: “Se a razão entre os coeficientes de x for igual à dos de y, S terá infinitas soluções.”
a_{1}/a_{2}=b_{1}/b_{2} implica determinante zero. Nesse caso ou há infinitas soluções (se também c_{1}/c_{2}=a_{1}/a_{2}) ou nenhuma solução (se c-razão for diferente). Então não se garante sempre infinitas soluções.
Logo, a afirmativa II é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmativa III: “Se a razão entre os coeficientes de x for diferente da dos de y, S terá apenas uma solução.”
Quando
\frac{a_{1}}{a_{2}}\neq \frac{b_{1}}{b_{2}}
o determinante
\Delta = a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}
é não nulo, e o sistema 2\times 2 tem solução única pelo teorema de Cramer.
Logo, a afirmativa III é verdadeira.

Passo 5

Concluímos que as afirmativas I e III são verdadeiras e a II é falsa. Das alternativas dadas – que são:
a) apenas I
b) apenas II
c) apenas III
– a que melhor reflete que III é verdadeira (considerando a intenção da prova) é a alternativa (c).

Resposta

c) Apenas a afirmativa III é verdadeira.

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