(Colégio Naval-2005) Um aluno resolvendo uma questão de múltipla escolha chegou ao seguinte resultado \sqrt[4]{49+20 \sqrt{6}}, no entanto as opções estavam em números decimais e pedia-se a mais próxima do valor encontrado para resultado, e, assim sendo, procurou simplificar esse resultado, a fim de melhor estimar a resposta Percebendo que o radicando da raiz de índice 4 é quarta potência de uma soma de dois radicais simples, concluiu, com maior facilidade, que a opção para a resposta foi
a) 3,00
b) 3,05
c) 3,15
d) 3,25
e) 3,35

Passo 1

O enunciado pede para achar, em forma decimal aproximada, o valor de
\sqrt[4]{49 + 20\sqrt{6}}
para escolher a opção mais próxima entre 3,00; 3,05; 3,15; 3,25; 3,35. Vamos usar expansão de binômio com radicais e depois estimar decimalmente.

Passo 2

Observe a soma de radicais
y = \sqrt{2} + \sqrt{3}.
Calculamos
y^2 = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = 2 + 3 + 2\sqrt{6} = 5 + 2\sqrt{6},
e em seguida
y^4 = (y^2)^2 = (5 + 2\sqrt{6})^2 = 25 + 4\cdot6 + 2\cdot5\cdot2\sqrt{6} = 25 + 24 + 20\sqrt{6} = 49 + 20\sqrt{6}.
Logo
\sqrt[4]{49 + 20\sqrt{6}} = y = \sqrt{2} + \sqrt{3}.

Passo 3

Basta agora aproximar numericamente:
\sqrt{2}\approx1{,}414,\quad \sqrt{3}\approx1{,}732
portanto
\sqrt{2} + \sqrt{3}\approx1{,}414 + 1{,}732 = 3{,}146.
Comparando com as opções dadas, o valor mais próximo é 3,15.

Resposta

c) 3,15

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