(Colégio Naval-2005) Uma herança \underline{P} foi dividida por dois herdeiros, com idades, respectivamente, iguais a ne m, em partes diretamente proporcionais ao quadrado de suas idades. Qual foi a parte da herança recebida pelo herdeiro de idade n?
a) \frac{p^{2} z}{m^{2}+3^{2}}
b) \frac{\mathrm{Pa}^{2}}{\mathrm{~m}^{2}+\mathrm{a}^{2}}
c) \frac{P^{2} n^{2}}{m^{2}+n^{2}}
c) \frac{p^{2}+n^{2}-n^{2}}{n^{2}+n^{2}}

Passo 1

O problema dá uma herança total P a ser dividida entre dois herdeiros cujas idades são m e n. A divisão é diretamente proporcional ao quadrado das idades, ou seja, as partes são proporcionais a m^2 e a n^2.

Passo 2

Sejam x e y as partes que cabem aos herdeiros de idades m e n, respectivamente. “Diretamente proporcional a” significa
x : y = m^2 : n^2.

Passo 3

Como a soma das partes é P, temos
x + y = P.
Também a soma das razões é m^2 + n^2, de modo que a parte y (do herdeiro de idade n) vale
y = P \times \frac{n^2}{m^2 + n^2}.

Resposta

\frac{P\,n^2}{m^2 + n^2}.

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