(IBMEC-2009) O valor de \frac{2009^{2}-4}{2009^{2}+2009-2} é igual a
a) \frac{2007}{2008}
b) \frac{2008}{2009}
c) \frac{2007}{2009}
d) \frac{2009}{2008}
e) \frac{2009}{2007}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a fração
\frac{2009^{2}-4}{2009^{2}+2009-2}
O conteúdo aqui é fatoração de polinômios: vamos usar diferença de quadrados no numerador e fatorar o polinômio do denominador.

Passo 2

Fatorando o numerador pela diferença de quadrados:
2009^{2}-4=(2009-2)(2009+2)=2007\cdot2011.

Passo 3

Para o denominador, note que é um polinômio do tipo x^{2}+x-2 com x=2009. Fatorando
x^{2}+x-2=(x+2)(x-1),
logo com x=2009 temos
2009^{2}+2009-2=(2009+2)(2009-1)=2011\cdot2008.

Passo 4

Substituindo na fração e cancelando o fator comum 2011:
\frac{2007\cdot2011}{2011\cdot2008}=\frac{2007}{2008}.

Resposta

a) \frac{2007}{2008}

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