(Colégio Naval-2008) Se \mathrm{x}+\mathrm{y}=2 \mathrm{e} \left(x^{2}+y^{2}\right) /\left(x^{3}+y^{3}\right)=4, então x y é igual a
a) 12 / 11
b) 13 / 11
c) 14 / 11
d) 15 / 11
e) 16 / 11

Passo 1

O enunciado dá que
x+y=2
e que
\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{3}+y^{3}}=4.
Queremos encontrar o valor de xy. Para isso vamos usar as relações de simetria entre soma e produto de raízes.

Passo 2

Defina
S = x+y = 2, \qquad P = xy.
Sabendo disso, podemos escrever
x^{2}+y^{2} = S^{2} - 2P = 4 - 2P.

Passo 3

De modo análogo,
x^{3}+y^{3} = (x+y)^{3} - 3\,xy\,(x+y) = S^{3} - 3PS = 8 - 6P.

Passo 4

Substituindo no quociente dado, temos
\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{3}+y^{3}} = \frac{4 - 2P}{8 - 6P} =4.
Multiplicando em cruz:
4 - 2P = 4\,(8 - 6P) = 32 - 24P
4 - 32 = -24P + 2P \qquad\Longrightarrow\qquad -28 = -22P
P = \frac{28}{22} = \frac{14}{11}.

Resposta

\displaystyle \frac{14}{11} (alternativa c)

Exercícios de Livros Relacionados