(Colégio Naval-99) Em uma circunferéncia de raio R está escrito um pentadecágono regular P. Coloque (V) verdadeiro ou (F) falso nas afirmativas abaixo.
( ) P tem diagonal que mede 2 R.
( ) P tem diagonal que mede R \sqrt{2}.
( ) P tem diagonal que mede R \sqrt{3}.
( ) P tem diagonal que mede \frac{R}{2} \sqrt{10-2 \sqrt{5}}.

Assinale a altemativa correta.

a) (V) (V) (F) (F)
b) (F) (V) (V) (F)
c) (F) (F) (V) (V)
d) (V) (V) (V) (F)

Passo 1

O enunciado dá um pentadecágono regular P inscrito numa circunferência de raio R. Queremos verificar quais afirmativas sobre comprimentos de diagonais de P são verdadeiras. Cada diagonal que junta dois vértices separados por m arestas corresponde a uma corda que subtende ângulo central m\cdot\frac{2\pi}{15}.

Passo 2

O comprimento dessa corda (Diagonal L_m) é dado por
L_m \;=\;2R\sin\!\bigl(m\pi/15\bigr),
onde m\in\{1,2,\dots,7\} dá todas as diagonais não redundantes ( m=1 é o lado).

Passo 3

Para ter L_m=2R precisaríamos
2R\sin\!\bigl(m\pi/15\bigr)=2R \quad\Longrightarrow\quad \sin\!\bigl(m\pi/15\bigr)=1,
isto dá m\pi/15=\pi/2 ou m=7{,}5, que não é inteiro. Logo a primeira afirmativa é Falsa.

Passo 4

Para ter L_m=R\sqrt2 precisamos
2R\sin\!\bigl(m\pi/15\bigr)=R\sqrt2 \quad\Longrightarrow\quad \sin\!\bigl(m\pi/15\bigr)=\tfrac{\sqrt2}{2},
o que dá m\pi/15=\pi/4 ou 3\pi/4, resultando em m=3{,}75 ou 11{,}25, não inteiros. Logo a segunda afirmativa é Falsa.

Passo 5

Para ter L_m=R\sqrt3 precisamos
2R\sin\!\bigl(m\pi/15\bigr)=R\sqrt3 \quad\Longrightarrow\quad \sin\!\bigl(m\pi/15\bigr)=\tfrac{\sqrt3}{2},
o que ocorre em m\pi/15=\pi/3 ou 2\pi/3, dando m=5 ou 10. Como m=5 é inteiro e gera uma diagonal, a terceira afirmativa é Verdadeira.

Passo 6

Para ter
\displaystyle L_m=\frac{R}{2}\sqrt{10-2\sqrt5}
vemos que
\frac{R}{2}\sqrt{10-2\sqrt5} =2R\;\frac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{4} =2R\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{5}\bigr),
porque \sin(\pi/5)=\sqrt{10-2\sqrt5}/4. Assim m\pi/15=\pi/5 leva a m=3, inteiro, e a quarta afirmativa é Verdadeira.

Passo 7

Os resultados são: F, F, V, V. Isso corresponde à alternativa (c).

Resposta

c) (F) (F) (V) (V)

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