(Colégio Naval-85) Considere um ponto P interno a um bexagono regular de lado igual a 6 cm . A soma das distâncias de R a cada uma das retas suportes dos lados desse hexágono.
a) depende da localização de P
b) 6 igual a 36 cm
c) é igual a 18 cm
d) é igual a 12 \sqrt{3} \mathrm{~cm}

Passo 1

O enunciado diz que temos um hexágono regular de lado 6,cm e que P é um ponto qualquer no interior. Queremos a soma das distâncias de P às seis retas que contêm os lados do hexágono. O conteúdo principal aqui é usar a decomposição da área do hexágono em seis triângulos e relacionar essa área com as distâncias de P aos lados.

Passo 2

Seja d_i a distância de P à reta que sustenta o i-ésimo lado (todos eles têm comprimento a=6,cm). Ao traçar segmentos de P ortogonais a cada lado, formam-se seis triângulos de base a e alturas d_i. A área total do hexágono vale a soma dessas seis áreas:
A \;=\;\sum_{i=1}^{6}\frac{a\,d_i}{2} \;=\;\frac{a}{2}\sum_{i=1}^{6}d_i.

Passo 3

Dessa igualdade tiramos
\sum_{i=1}^{6}d_i \;=\;\frac{2A}{a}.
Ou seja, a soma das distâncias independe de P e é igual a 2A/a.

Passo 4

Basta agora calcular a área A do hexágono regular de lado a=6,cm. Sabemos que
A \;=\;\frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2
para um hexágono regular. Logo,
A = \frac{3\sqrt{3}}{2}\times 6^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\times36 =54\sqrt{3}\text{ cm}^2.

Passo 5

Substituindo em \sum d_i =2A/a, obtemos
\sum_{i=1}^{6}d_i =\frac{2\,(54\sqrt{3})}{6} =\frac{108\sqrt{3}}{6} =18\sqrt{3}\text{ cm}.

Resposta

A soma das distâncias de P às seis retas é constante e vale
\boxed{18\sqrt{3}\text{ cm}.}

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