(Colégio Naval-85) Considere um ponto P interno a um bexagono regular de lado igual a 6 cm . A soma das distâncias de R a cada uma das retas suportes dos lados desse hexágono.
a) depende da localização de P
b) 6 igual a 36 cm
c) é igual a 18 cm
d) é igual a
a) depende da localização de P
b) 6 igual a 36 cm
c) é igual a 18 cm
d) é igual a
Passo 1
O enunciado diz que temos um hexágono regular de lado
,cm e que
é um ponto qualquer no interior. Queremos a soma das distâncias de
às seis retas que contêm os lados do hexágono. O conteúdo principal aqui é usar a decomposição da área do hexágono em seis triângulos e relacionar essa área com as distâncias de
aos lados.
Passo 2
Seja
a distância de
à reta que sustenta o
-ésimo lado (todos eles têm comprimento
,cm). Ao traçar segmentos de
ortogonais a cada lado, formam-se seis triângulos de base
e alturas
. A área total do hexágono vale a soma dessas seis áreas:
Passo 3
Dessa igualdade tiramos
Ou seja, a soma das distâncias independe de
e é igual a
.
Passo 4
Basta agora calcular a área
do hexágono regular de lado
,cm. Sabemos que
para um hexágono regular. Logo,
Passo 5
Substituindo em
, obtemos
Resposta
A soma das distâncias de
às seis retas é constante e vale