(Colégio Naval-84) Se a divisâo \frac{\left(x^{3}-6 x^{2}+12 x-8\right)^{16}+2 x^{2}-8 x+1+k}{x^{2}-4 x+4} é exatè, o valor de k é:
(A) 3
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8

Passo 1

O enunciado pede determinar o valor de k para que a divisão
\frac{\bigl(x^{3}-6x^{2}+12x-8\bigr)^{16}+2x^{2}-8x+1+k}{x^{2}-4x+4}
seja exata. O conteúdo utilizado será fatoração de polinômios e o Teorema do Resto (ou Condição de divisibilidade por potência de fator).

Passo 2

Observamos que
x^{3}-6x^{2}+12x-8=(x-2)^{3},
e que
x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}.
Logo o numerador fica
\bigl((x-2)^{3}\bigr)^{16}+2x^{2}-8x+1+k=(x-2)^{48}+2x^{2}-8x+1+k.
Escrevendo 2x^{2}-8x+1+k em termos de (x-2):
2x^{2}-8x+1+k=2\bigl((x-2)^{2}-4\bigr)+1+k=2(x-2)^{2}+(k-7).
Portanto o numerador é
g(x)=(x-2)^{48}+2(x-2)^{2}+(k-7).

Passo 3

Para que (x-2)^{2} divida g(x) é necessário e suficiente que
g(2)=0 \quad\text{e}\quad g'(2)=0.
Calculamos
g(2)=0+0+(k-7)=k-7\quad\Longrightarrow\quad k=7.
E
g'(x)=48(x-2)^{47}+4(x-2) \;\Longrightarrow\; g'(2)=0+0=0,
independente de k. Assim o único valor que garante divisibilidade é k=7.

Resposta

7

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