(Olimpíada do Ceará-2003) Simplifique a expressão \sqrt{9-6 a+a^{2}}+\sqrt{9+6 a+a^{2}}, sabendo que \mathrm{a}<-3.

Passo 1

O enunciado pede para simplificar
\sqrt{9 - 6a + a^{2}} \;+\;\sqrt{9 + 6a + a^{2}}
sabendo que a < -3. Vamos usar reconhecimento de quadrados perfeitos e propriedades de valor absoluto.

Passo 2

Note que
9 - 6a + a^{2} = (a - 3)^{2}
e
9 + 6a + a^{2} = (a + 3)^{2}.
Logo a expressão vira
\sqrt{(a - 3)^{2}} \;+\;\sqrt{(a + 3)^{2}}.

Passo 3

Pela definição de radical:
\sqrt{(a - 3)^{2}} = \lvert a - 3\rvert
e
\sqrt{(a + 3)^{2}} = \lvert a + 3\rvert.
Portanto a soma é
\lvert a - 3\rvert + \lvert a + 3\rvert.

Passo 4

Como a < -3, temos a - 3 < 0 e a + 3 < 0. Então
\lvert a - 3\rvert = -(a - 3) = 3 - a,
\lvert a + 3\rvert = -(a + 3) = -a - 3.
Somando:
(3 - a) + (-a - 3) = -2a.

Resposta

-2a

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