(Olimpíada Báltica-92) Dado que
a^{2}+b^{2}+(a+b)^{2}=c^{2}+d^{2}+(c+d)^{2}
Prove que a^{4}+b^{4}+(a+b)^{4}=c^{4}+d^{4}+(c+d)^{4}.

Passo 1

O enunciado nos dá a igualdade
a^{2}+b^{2}+(a+b)^{2}=c^{2}+d^{2}+(c+d)^{2},
que é uma relação entre somas de quadrados. O objetivo é mostrar que dessa igualdade de somas de quadrados decorre a igualdade
a^{4}+b^{4}+(a+b)^{4}=c^{4}+d^{4}+(c+d)^{4}.
O conteúdo principal é o uso de identidades algébricas envolvendo somas de potências e fatorações simples.

Passo 2

Repare que
a^{2}+b^{2}+(a+b)^{2} = a^{2}+b^{2}+\bigl(a^{2}+2ab+b^{2}\bigr) =2a^{2}+2b^{2}+2ab =2\bigl(a^{2}+ab+b^{2}\bigr).
Logo a hipótese implica
a^{2}+ab+b^{2}=c^{2}+cd+d^{2}.
Definimos portanto
S = a^{2}+ab+b^{2}, \quad T = c^{2}+cd+d^{2},
e sabemos que S=T.

Passo 3

Vamos escrever
S^{2}=\bigl(a^{2}+ab+b^{2}\bigr)^{2} =a^{4}+2a^{3}b+3a^{2}b^{2}+2ab^{3}+b^{4}.
Multiplicando por 2 obtemos
2S^{2} =2a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+2b^{4}.
Por outro lado,
a^{4}+b^{4}+(a+b)^{4} =a^{4}+b^{4}+\bigl(a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\bigr) =2a^{4}+2b^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3},
que coincide exatamente com 2S^{2}. Assim
a^{4}+b^{4}+(a+b)^{4}=2S^{2}.

Passo 4

Como S=T, trocando a,b por c,d temos também
c^{4}+d^{4}+(c+d)^{4}=2T^{2}.
Portanto
a^{4}+b^{4}+(a+b)^{4} =2S^{2} =2T^{2} =c^{4}+d^{4}+(c+d)^{4},
e a afirmação está demonstrada.

Resposta

a^{4}+b^{4}+(a+b)^{4}=c^{4}+d^{4}+(c+d)^{4}.

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