(Colégio Naval-91) A divisão do polinômio \mathbf{P}(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{4}+\mathbf{x}^{2}+1 pelo polinômio \mathbf{D}(\mathbf{x})=2 \mathbf{x}^{2}-3 \mathbf{x} +1 apresenta quociente Q(x) e resto R(x). Assinale a alternativa falsa.
a) R(1)=3
b) R(x)>0 para x>\frac{1}{9}
c) o menor valor de Q(x) ocorre para x=\frac{3}{4}
d) A média geométrica dos zeros de Q(x) é \frac{\sqrt{22}}{4}
e) O valor mínimo de \mathrm{Q}(\mathrm{x}) é \frac{35}{32}

Passo 1

O enunciado diz que ao dividir
P(x)=x^4+x^2+1
por
D(x)=2x^2-3x+1
obtemos quociente Q(x) e resto R(x), e pede para assinalar a alternativa falsa dentre as afirmações sobre R e Q. Vamos usar divisão de polinômios, análise de sinal de função linear e cálculo do vértice de parábola.

Passo 2

Fazendo a divisão longa de P(x) por D(x):
  1. Primeiro termo do quociente: \tfrac{x^4}{2x^2}=\tfrac12x^2.
  2. Subtraindo, sobra \tfrac32x^3+\tfrac12x^2+0x+1.
  3. Próximo termo: \tfrac{\tfrac32x^3}{2x^2}=\tfrac34x.
  4. Subtraindo, sobra \tfrac{11}{4}x^2-\tfrac34x+1.
  5. Último termo: \tfrac{\tfrac{11}{4}x^2}{2x^2}=\tfrac{11}{8}.
  6. Restam \tfrac{27}{8}x-\tfrac{3}{8}.
    Logo
Q(x)=\tfrac12x^2+\tfrac34x+\tfrac{11}{8}, \qquad R(x)=\tfrac{27}{8}x-\tfrac{3}{8}.

Passo 3

a) R(1)=\tfrac{27}{8}\cdot1-\tfrac{3}{8}=\tfrac{24}{8}=3. Está certo.
b) R(x)=\tfrac{3(9x-1)}{8}>0\iff9x-1>0\iff x>\tfrac19. Também certo.

Passo 4

Q(x) é uma parábola com a=\tfrac12>0 e b=\tfrac34. O vértice ocorre em
x_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{\tfrac34}{2\cdot\tfrac12}=-\tfrac34,
não em +\tfrac34. Portanto a afirmação de que o mínimo ocorre em x=\tfrac34 é falsa.

Resposta

c)

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