(ESPM-2005) O polinômio \mathrm{P}(\mathrm{x})=\mathrm{k} . \mathrm{x}^{5}+(\mathrm{k}+ 1) x^{4}-k x^{3}+2 k . x é divisível por x+1. 0 valor de P(2) é:
а) 60 ;
b) 52 ;
c) 24 ;
d) -4 ;
e) -28 .

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
P(x)=k\,x^5+(k+1)x^4-k\,x^3+2k\,x
e dizem que ele é divisível por x+1. Esse tipo de questão usa o Teorema do Resto, que afirma que o resto da divisão de P(x) por x+1 é P(-1). Para ser divisível, precisamos ter P(-1)=0.

Passo 2

Calculando P(-1):
P(-1) = k(-1)^5 + (k+1)(-1)^4 - k(-1)^3 + 2k(-1) = -k + (k+1) + k - 2k = -k + 1.
Como P(-1)=0, vem
-k + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = 1.

Passo 3

Substituindo k=1 em P(x), obtemos
P(x)=x^5+2x^4 -x^3+2x.
Então
P(2) =2^5 + 2\cdot2^4 - 2^3 + 2\cdot2 =32 + 32 - 8 + 4 =60.

Resposta

60

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