(Colégio Naval-86) O coeficiente do termo do 2^{\circ} grau do produto entre o quociente e o resto, resultante da divisão de x^{2}-3 x+x^{4}+7 por 2-x^{2}
(A) -22
(B) -11
(C) -10
(D) -1
(E) 1

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos dividir
P(x)=x^4+x^2-3x+7
por
D(x)=2 - x^2
e obter o quociente Q(x) e o resto R(x). Depois, formamos o produto Q(x)\,R(x) e queremos o coeficiente de x^2 nesse produto.

Passo 2

Fazemos a divisão polinomial P(x)\div D(x) escrevendo
Q(x)=a x^2 + b x + c,\quad R(x)=r_1 x + r_0,
e impondo
P(x)=D(x)\,Q(x)+R(x).
Como
D(x)\,Q(x)=(2 - x^2)(a x^2 + b x + c) =-a x^4 - b x^3 + (2a - c)x^2 + 2b x + 2c,
comparamos termo a termo com P(x)=x^4+0x^3+1x^2-3x+7.

Passo 3

Igualando coeficientes, obtemos o sistema:
\begin{cases} -a = 1,\\\\ -\,b = 0,\\\\ 2a - c = 1,\\\\ 2b + r_{1} = -3,\\\\ 2c + r_{0} = 7. \end{cases}
Dessa forma
a=-1,\quad b=0,\quad c=-3,\quad r_{1}=-3,\quad r_{0}=13.
Logo
Q(x)=-x^2-3, \quad R(x)=-3x+13.

Passo 4

Agora calculamos o produto
Q(x)\,R(x)=(-x^2-3)\,(-3x+13).
Fazendo a distribuição:
(-x^2)(-3x)=3x^3,\quad (-x^2)(13)=-13x^2,\quad (-3)(-3x)=9x,\quad (-3)(13)=-39.
Portanto
Q(x)\,R(x)=3x^3-13x^2+9x-39.

Resposta

O coeficiente do termo de x^2 em Q(x)\,R(x) é -13.

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