(Colégio Naval-94) Efetuando-se \frac{x}{2+y}+\frac{4-4 x+x^{2}}{y^{2}+4 y+4}: \frac{2-x}{2+y}, encontra-se:
a) \frac{x}{y+2}
b) \frac{x+2}{y+2}
c) \frac{2}{y+2}
c) \frac{2-x}{y+2}
d) \frac{2 x}{y+2}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{x}{2+y} \;+\;\frac{4-4x+x^{2}}{y^{2}+4y+4} : \frac{2-x}{2+y}.
O conteúdo é manipulação de expressões racionais: vamos fatorar polinômios, transformar a divisão em multiplicação pelo inverso e somar frações.

Passo 2

Observamos que
y^{2}+4y+4=(y+2)^{2},
e também
4-4x+x^{2}=x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}.
Logo
\frac{4-4x+x^{2}}{y^{2}+4y+4} =\frac{(x-2)^{2}}{(y+2)^{2}}.

Passo 3

A divisão por \frac{2-x}{2+y} equivale a multiplicar pelo inverso:
\frac{(x-2)^{2}}{(y+2)^{2}} : \frac{2-x}{2+y} =\frac{(x-2)^{2}}{(y+2)^{2}}\times\frac{2+y}{2-x}.
Como (x-2)^{2}=(2-x)^{2}, temos
\frac{(2-x)^{2}}{(y+2)^{2}}\times\frac{y+2}{2-x} =\frac{2-x}{y+2}.

Passo 4

Agora somamos ao primeiro termo:
\frac{x}{y+2}+\frac{2-x}{y+2} =\frac{x+2-x}{y+2} =\frac{2}{y+2}.

Resposta

c) \displaystyle \frac{2}{y+2}

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