(Colégio Naval-85) Sabendo que 3 x-y-10 z =0 e que x+2 y-z=0, o valor de \frac{x^{3}+x^{2} y}{x y^{2}-z^{3}}, sendo z \neq 0, é:
(A) 18
(B) 9
(C) 6
(D) 1

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema de equações lineares em (x,y,z):
3x - y - 10z = 0
x + 2y - z = 0
e pede o valor da expressão
\frac{x^{3} + x^{2}y}{x y^{2} - z^{3}},
sabendo que z\neq 0. O conteúdo principal aqui é resolver o sistema por substituição e depois fazer manipulação algébrica da razão.

Passo 2

Da primeira equação isolamos y em função de x e z:
3x - y - 10z = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = 3x - 10z.

Passo 3

Substituímos y = 3x - 10z na segunda equação para achar x em função de z:
x + 2(3x - 10z) - z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x + 6x - 20z - z = 0 \quad\Longrightarrow\quad 7x = 21z \quad\Longrightarrow\quad x = 3z.

Passo 4

Com x = 3z, voltamos em y = 3x - 10z e obtemos
y = 3(3z) - 10z = 9z - 10z = -z.

Passo 5

Agora calculamos a expressão pedida usando x=3z e y=-z:
O numerador é
N = x^{3} + x^{2}y = x^{2}(x + y) = (3z)^{2}\bigl(3z + (-z)\bigr) = 9z^{2}\cdot 2z = 18\,z^{3}.
O denominador é
D = x\,y^{2} - z^{3} = (3z)\bigl((-z)^{2}\bigr) - z^{3} = 3z\cdot z^{2} - z^{3} = 3z^{3} - z^{3} = 2\,z^{3}.
Logo
\frac{N}{D} = \frac{18\,z^{3}}{2\,z^{3}} = 9.

Resposta

(B)

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