(Colégio Naval-78) Simplificando
\frac{a^{4}-b^{4}}{\left(a^{2}+b^{2}+2 a b\right)\left(a^{2}+b^{2}-2 a b\right)}-\frac{2 a b}{a^{2}-b^{2}}
para b \neq \pm a obtém-se :
(A) 1
(B) \frac{a+b}{a-b}
(C) \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}
(D) \frac{a-b}{a+b}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar
\frac{a^{4}-b^{4}}{\bigl(a^{2}+b^{2}+2ab\bigr)\bigl(a^{2}+b^{2}-2ab\bigr)} -\frac{2ab}{a^{2}-b^{2}}
O conteúdo necessário é fatoração por soma e diferença de quadrados e simplificação de frações algébricas, lembrando que b\neq\pm a.

Passo 2

Fatoramos o numerador e o denominador do primeiro termo:
a^{4}-b^{4}=(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2}),
a^{2}+b^{2}\pm2ab=(a\pm b)^{2}
Logo,
\frac{a^{4}-b^{4}}{\bigl(a^{2}+b^{2}+2ab\bigr)\bigl(a^{2}+b^{2}-2ab\bigr)} =\frac{(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})}{(a+b)^{2}(a-b)^{2}}.

Passo 3

Simplificando o primeiro termo:
\frac{(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})}{(a+b)^{2}(a-b)^{2}} =\frac{a^{2}+b^{2}}{(a+b)(a-b)}.
O segundo termo fica
\frac{2ab}{a^{2}-b^{2}} =\frac{2ab}{(a+b)(a-b)}.

Passo 4

Com denominador comum (a+b)(a-b), subtraímos:
\frac{a^{2}+b^{2}}{(a+b)(a-b)}-\frac{2ab}{(a+b)(a-b)} =\frac{a^{2}-2ab+b^{2}}{(a+b)(a-b)} =\frac{(a-b)^{2}}{(a+b)(a-b)} =\frac{a-b}{a+b}.

Resposta

\displaystyle \frac{a-b}{a+b}

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