(Colégio Naval-85) Efetuando o produto (x+1)\left(x^{100}-x^{99}+x^{98}-x^{97}+\ldots \ldots+x^{2}-x+1\right) encontramos:
(A) x^{100}-1
(B) x^{200}+1
(C) x^{101}+x^{50}-1
(D) 2 x^{100}+2
(E) x^{101}+1

Passo 1

O enunciado pede para multiplicar o polinômio
(x+1)\bigl(x^{100}-x^{99}+x^{98}-\cdots -x+1\bigr).
O conteúdo envolve manipulação de somas de termos de sinais alternados e combinação de polinômios.

Passo 2

Escrevemos o segundo fator como
S = x^{100}-x^{99}+x^{98}-\cdots -x+1 = \sum_{k=0}^{100}(-1)^k x^{100-k}.
Reindexando em potência crescente de x, note que
S = \sum_{k=0}^{100}(-1)^k x^k,
pois (-1)^{100}=1 e isso preserva exatamente os mesmos coeficientes.

Passo 3

Agora calculamos
(x+1)S = xS + S = \sum_{k=0}^{100}(-1)^k x^{k+1} + \sum_{k=0}^{100}(-1)^k x^k.
Chamemos
A = \sum_{k=0}^{100}(-1)^k x^{k+1} =\sum_{k=1}^{101}(-1)^{\,k-1}x^k
e
B = \sum_{k=0}^{100}(-1)^k x^k.

Passo 4

Para cada 1\le k\le100, o coeficiente de x^k em A+B é
(-1)^k + \bigl[-(-1)^k\bigr] = 0,
ou seja, todos esses termos se cancelam. Sobram apenas:
  • o termo constante em B: (-1)^0=1,
  • o termo x^{101} em A: -(-1)^{101}=1.
Logo
(x+1)S = x^{101} + 1.

Resposta

(E) x^{101}+1

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