(OBM-2002) Se x y=2 e x^{2}+y^{2}=5, então \frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}+2 vale:
A) \frac{5}{2}
B) \frac{25}{4}
C) \frac{5}{4}
D) \frac{1}{2}
E) 1

Passo 1

O enunciado nos dá as condições \;xy=2\; e \;x^2+y^2=5, e pede para calcular
E = \frac{x^2}{y^2} \;+\;\frac{y^2}{x^2}\;+\;2.
Vamos usar manipulação algébrica de frações e reconhecimento de padrão de quadrado.

Passo 2

Observamos que a soma de frações mais 2 lembra a identidade do quadrado da soma. De fato, para a e b vale
(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab.
Se escolhermos a = \frac{x}{y} e b = \frac{y}{x}, então
\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2} + 2 \;=\;\Bigl(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\Bigr)^2.

Passo 3

Agora calculamos
\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{5}{2},
pois x^2+y^2=5 e xy=2.

Passo 4

Portanto
E = \Bigl(\frac{5}{2}\Bigr)^2 = \frac{25}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{25}{4}

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